Question

(FUVEST - 05) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?

Answer 1

Bom dia!

Temos que todos se cumprimentam. O número de cumprimentos entre homens é igual a $C_h^2$, a combinação do número de homens dois a dois, já que não há repetição. Temos também que multiplicar esse valor por 2, já que se cumprimentam na entrada e na saída. Temos:
$2.C_h^2$

Agora para o número de cumprimentos entre homens e mulheres: é o produto entre o número de homens e mulheres (se tivermos 1 homem e 1 mulher, temos 1 aperto. 2 homens e 2 mulheres, 4 apertos. Note que estou falando apenas do aperto entre homens e mulheres). Temos:
$h.m$

A soma dos apertos de mão é 720. Então a soma do que marquei é 720:

$2.C_h^2 + h.m=720\\ \\ \not2.\dfrac{h!}{\not2.(h-2)!} + h.m=720\\ \\ \\ \dfrac{h.(h-1).(h-2)!}{(h-2)!}+ hm=720\\ \\ h(h-1)+hm = 720\\ \\ h^2-h+hm=720$
Temos que    h + m  = 37, então podemos isolar: m = 37 - h
Substituindo, temos:

$h^2 - h +h.(37-h) = 720\\ \\ h^2 -h+37h-h^2 = 720 \\ \\ 36h = 720 \\ \\ h=\dfrac{720}{36}\\ \\ h=20$

Agora para encontrar o número de mulheres:

m = 37 - h

m = 37 - 20

$\boxed{m=17}$

São 17 mulheres. Bons estudos!

Answer 2

Resposta: 17

Explicação passo-a-passo:

M=mulheres

H=homens

M + H = 37

H = 37 - M

Combinação do número de homens para obter os diferentes cumprimentos possíveis entre eles:

(37 - M) x (36 - M) / 2!

Multiplica o resultado por 2, pois eles se cumprimentam na entrada e saída, então cancela com o 2! ali, ficando:

(37 - M) x (36 - M)

Esse foi o número de apertos de mão entre homens.

Agora entre homens e mulheres, para obtermos os pares possíveis multiplicamos M por H (princípio fundamental da contagem). Precisamos deixar em apenas uma incógnita para podermos calculá-la no final, então escreveremos o número de homens em termos de M novamente, veja:

H = 37 - M

Portanto,

H x M = (37 - M) x M

(37 - M) x M = 37M - M²

Esse foi o número de apertos de mão entre homens e mulheres. Como fazem isso só na entrada, não precisamos multiplicar por dois.

Agora somamos tudo e igualamos ao total, que sabemos que corresponde a 720.

(Apertos de mão entre H) + (Apertos de mão entre H e M) =720

Conforme o que obtemos pelos cálculos anteriores, podemos escrever:

(37 - M) x (36 - M) + (37M - M²) = 720

1.332 - 37M - 36M + M² + 37M - M² = 720

1.332 - 720 = 36M

612 = 36M

M = 612/36

M = 17.

17 molieres! :D

Bons estudos!