Question

Fund. João Pinheiro-MG) Certa noite, observou se que a temperatura em Diamantina, dada em graus centígrados, obedeceu à lei T(h)=h² -7h+18, em que h é medido em horas e T(h) é a temperatura correspondente. Durante um determina do intervalo de tempo, essa temperatura manteve-se abaixo de 8°C. Assim sendo, a duração desse intervalo de tempo foi de:​

Answer 1

Resposta:

$T(h)<8\\S=\{2<h<5\},\; h\in \mathbb{R}$

Explicação passo-a-passo:

Podemos resolver essa questão fazendo uma inequação e adaptando ela para uma equação de segundo grau e achando as raízes, vamos fazer dessa forma, primeiro vamos adaptar a expressão:

$T(h) = h^2-7h+18$

Queremos saber para quais h:

$h^2-7h+18 < 8$

$h^2-7h+18-8<0\\h^2-7h+10<0$

Quando que uma equação de segundo grau fica negativa? dentro do intervalo de suas raízes, e é isso que queremos, se acharmos esse intervalo achamos os valores que satisfazem a nossa inequação (abaixo de 0) que também satisfaz a nossa outra inequação (abaixo de 8), então vamos achar as raízes de:

$h^2-7h+10 = 0$

Podemos resolver por bhaskara ou por soma e produto, vamos resolver das duas formas.

Soma e produto

$x_1+x_2 = 7\\x_1\cdot x_2 = 10$

Quais números que somados dão 7 e multiplicados são 10? 5 e 2.

$5 + 2 = 7\\5 \cdot 2 = 10$

Soma e produto usam as relações de Girard para polinômios de grau dois que é:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Método por "Bhaskara"

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Nossos dados:

$a =1 \\b = -7\\c = 10$

Vamos calcular agora:

$\Delta = b^{2}-4ac\\\Delta = (-7)^2-4\cdot 1 \cdot 10\\\Delta = 49 - 40\\\\\Delta = 9\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} \\\\\sqrt{\Delta} = 3$

$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm3}{2}\\\\x_{1,2}=\frac{7\pm3}{2}\\\\x_1 = \frac{7+3}{2}\\\\x_1 = \frac{10}{2}\\\\x_1 = 5\\\\\text{Primeira encontrada}\\\\x_2 = \frac{7-3}{2}\\\\x_2 = \frac{4}{2}\\\\x_2 =2 }\\\\\text{Ra\'izes encontradas}\\S = \{2,\;5\}$

Resultado final:

Durante o intervalo das raízes, ou seja, entre 2h e 5h a temperatura ficou abaixo de 8ºC.

$T(h)<8\\S=\{2<h<5\},\; h\in \mathbb{R}$

Qualquer dúvida respondo nos comentários