Question

Funções trigonométricas inversas.

Resolva a equação a seguir, para − 1 ≤ x ≤ 1:

     2 arcsen(x) = arcsen[2x√(1 − x²)]

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Gabarito:  − √2/2 ≤ x ≤ √2/2.

Answer 1

É-nos dada a seguinte equação:

$2\arcsin(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$

Inicialmente, vamos analisar as restrições das funções da equação dada.

As expressões presentes dentro das funções arco seno devem estar limitadas ao intervalo $[-1,1]$, já que representam senos. Assim:

$\bullet~-1\le x\le 1~~(i)\\\\\\ \bullet -1\le 2x\sqrt{1-x^2}\le 1\\\\ a)\\-1\le 2x\sqrt{1-x^2}\\\\ -1\le 2x\sqrt{1-x^2}+x^2+(\sqrt{1-x^2})^2-x^2-(\sqrt{1-x^2})^2\\\\ -1\le (x+\sqrt{1-x^2})^2-x^2-(1-x^2)\\\\ -1\le (x+\sqrt{1-x^2})^2-1\\\\ 0\le (x+\sqrt{1-x^2})^2~~(ii)\\\\\\ b)\\2x\sqrt{1-x^2}\le1\\\\ 2x\sqrt{1-x^2}-x^2-(\sqrt{1-x^2})^2+x^2+(\sqrt{1-x^2})^2\le1\\\\ -(x-\sqrt{1-x^2})^2+x^2+(1-x^2)\le1\\\\ -(x-\sqrt{1-x^2})^2+1\le1\\\\ (x+\sqrt{1-x^2})^2\ge0~~(iii)$

A afirmação (i) é verdadeira pelo enunciado. As afirmações (ii) e (iii) são claramente verdadeiras também, já que as expressões em x são quadrados de números reais.

O contra-domínio da função arco seno é, por definição, o intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$. Como o lado direito da equação dada é uma função arco seno, o lado esquerdo também deve atender à restrição do contra-domínio, então:

$-\dfrac{\pi}{2}\le 2\arcsin(x) \le \dfrac{\pi}{2}\\\\ -\dfrac{\pi}{4}\le \arcsin(x) \le \dfrac{\pi}{4}$

Como a função seno é crescente no intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$, podemos aplicá-la nas inequações acima:

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\le \sin(\arcsin(x)) \le \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\ -\dfrac{\sqrt2}{2}\le x \le \dfrac{\sqrt2}{2}$

Analisadas as restrições, vamos resolver a equação. Aplicando a função seno dos dois lados:

$2\arcsin(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \\\\ \sin(2\arcsin(x))=\sin(\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}))\\\\ \sin(2\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}$

Mas, $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$:

$2\sin(\arcsin(x))\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}\\\\ 2x\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}$

Além disso, $\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}$. Logo:

$2x\cos(\arcsin(x))=2x\sqrt{1-x^2}\\\\ 2x\sqrt{1-x^2}=2x\sqrt{1-x^2}$

A equação acima é verdadeira para todo $x$ que atende às restrições do problema. Portanto, unindo todas as restrições, a solução é:

$\boxed{-\dfrac{\sqrt2}{2}\le x \le \dfrac{\sqrt2}{2}}$