Question

Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio

p(x) = x³ + 2x² + x + 2

Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio.

Answer 1

O valor de a é zero.

O valor x = -1 não é raiz do polinômio dado. A raiz é x = -2.

Se x = -2 é raiz do polinômio p(x) = x³ + 2x² + x + 2, então podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau do polinômio p.

Assim:

-2 |  1   2   1   2

   |  1    0   1 |0

Logo, p(x) = (x + 2)(x² + 1).

Agora, precisamos resolver a equação do segundo grau x² + 1 = 0 para encontrarmos as outras raízes.

Observe que x² = -1 não possui solução real, pois não existe raiz quadrada de número negativo: x = ±√-1.

Como i² = -1, então concluímos que:

x = ±√i²

x = ±i

x = i ou x = -i.

Como o enunciado nos informa que uma das raízes é a - i, então podemos afirmar que o valor de a é zero.