Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E, ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio:
a) a = 2
b) a = - 2
c) a = 0
d) a = - 1
Soluções para a tarefa
Se o valor de x = a - 2i é raiz desse polinômio, temos que seu conjugado x = a + 2i também é, então, substituindo o valor dessas raízes na equação, temos:
p(a - 2i) = (a - 2i)³ + 4(a - 2i)² + 9(a - 2i) + 10 = 0
(a³ - 3.a²2i + 3.a.(2i)² - (2i)³) + 4(a² - 4ai + 4i²) + 9a - 18i + 10 = 0
a³ - 6a²i - 12a - 8i³ + 4a² - 16ai - 16 + 9a - 18i + 10 = 0
(a³ + 4a² - 3a - 6) + (-6a² - 16a + 10)i = 0
p(a + 2i) = (a + 2i)³ + 4(a + 2i)² + 9(a + 2i) + 10 = 0
(a³ + 3.a².2i + 3.a.(2i)² + (2i)³) + 4(a² + 4ai + 4i²) + 9a + 18i + 10 = 0
a³ + 6a²i - 12a - 8i + 4a² + 16ai - 16 + 9a + 18i + 10 = 0
(a³ + 4a² - 3a - 6) + (-6a² + 16a + 10)i = 0
Igualando as duas equações:
(a³ + 4a² - 3a - 6) + (-6a² - 16a + 10)i = (a³ + 4a² - 3a - 6) + (-6a² + 16a + 10)i
-32ai = 0
a = 0/-32i
a = 0
Resposta: C