Question

Funções com derivadas trigonométricas
Podem me ajudar na 9.1?
O resultado dá -2, mas n estou a conseguir fazer

Answer 1

Para resolver esta derivada, precisamos aplicar a regra da cadeia, que é:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ou seja, derivamos a função "de fora" mantendo o mesmo argumento, então, multiplicamos pela derivada da função "de dentro".

Sabendo que:

$(sen(u))' = cos(u)\cdot u'\\(cos(u))' = -sen(u)\cdot u'$

Obs.: u é uma função de x.

Temos:

$f(x) = sen(2x) + cos(2x)\\f'(x) = (sen(2x))' + (cos(2x))'\\f'(x) = cos(2x) \cdot (2x)' - sen(2x) \cdot (2x)'\\f'(x) = 2cos(2x) - 2sen(2x)$

Agora, aplicando o ponto na função derivada, temos:

$f'(x) = 2cos(2x) - 2sen(2x)\\f'(\frac{\pi}{4}) = 2cos(2\cdot \frac{\pi}{4}) - 2sen(2\cdot \frac{\pi}{4})\\f'(\frac{\pi}{4}) = 2cos(\frac{\pi}{2}) - 2sen(\frac{\pi}{2})\\f'(\frac{\pi}{4}) = 2\cdot 0 - 2\cdot 1\\f'(\frac{\pi}{4}) = -2$

Espero ter ajudado.