Question

Funções:
02. O valor inicial $y( \pi )=0$, atende a solução da equação $x y^{l} -2y= x^{3}$ sen x . Então, com a calculadora no modo radianos , pode-se afirmar que o valor aproximado de y(2), é:


a) - 0,5


b) 0,0


c) - 2,3


d) - 1,0


e) - 1,6

Answer 1

Seja y=f(x). Sabemos que a solução de um PVI da forma $y'+P(x)y=Q(x)$, com condição inicial $f(a)=b$ é dada por:

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(x)}\,dt,$ onde $A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt$

Desse modo, vamos manipular a equação dada para que fique na forma que está escrita na primeira linha desta resposta. Assim:

$xy'-2y=x^3\sin(x)\\\\ y'-\dfrac{2}{x}y=x^2\sin(x),~~x\neq0$

Portanto, fazendo a associação do que foi obtido acima com a equação na forma padrão:

$y(\pi)=0\Longrightarrow a=\pi,~b=0\\\\ P(x)=-\dfrac{2}{x},~~Q(x)=</span>x^2\sin(x)<span>$

Agora, vamos calcular A(x):

$A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt\\\\ A(x)=\displaystyle\int_\pi^x-\dfrac{2}{t}\,dt\\\\ A(x)=-2\displaystyle\int_\pi^x\dfrac{1}{t}\,dt\\\\ A(x)=-2[\ln(t)]_\pi^x\\\\ A(x)=-2[\ln(x)-\ln(\pi)]\\\\ A(x)=2\ln(\pi)-2\ln(x)$

Vamos, finalmente, calcular a expressão de f(x);

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(x)}\,dt\\\\ f(x)=0. e^{-2(\ln(\pi)-\ln(x))}+e^{-2(\ln(\pi)-\ln(x))}\displaystyle\int_\pi^x t^2\sin(t)\cdot e^{2\ln(\pi)-2\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=e^{2\ln(x)-2\ln(\pi)}\displaystyle\int_\pi^x x^2\sin(t)\cdot e^{2\ln(\pi)-2\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=e^{2\ln(x)}\cdot e^{-2\ln(\pi)}\displaystyle\int_\pi^x t^2\sin(t)\cdot e^{2\ln(\pi)}\cdot e^{-2\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=x^{2}\cdot \pi^{-2}\displaystyle\int_\pi^x t^2\sin(t)\cdot \pi^2\cdot t^{-2}\,dt$

$f(x)=x^{2}\cdot \pi^{-2}\cdot \pi^2\displaystyle\int_\pi^x t^2\cdot t^{-2}\sin(t)\,dt\\\\ f(x)=x^{2}\displaystyle\int_\pi^x \sin(t)\,dt\\\\ f(x)=x^{2}\cdot[-\cos(t)]^{x}_\pi\\\\ f(x)=x^{2}\cdot[(-\cos(x))-(-\cos(\pi))]\\\\ f(x)=x^{2}\cdot[-\cos(x)+(-1)]\\\\ f(x)=x^{2}\cdot[-\cos(x)-1]\\\\ \boxed{f(x)=-x^2\cos(x)-x^2}$

Tendo a equação de f(x), podemos encontrar y(2):

$y(x)=-x^2\cos(x)-x^2\\\\ y(2)=-2^2\cos(2)-2^2\\\\ y(2)=-4\cos(2)-4\\\\ \boxed{y(2)=-4(\cos(2)+1)}\Longrightarrow\boxed{\boxed{y(2)\approx-2,335}}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{C.}$