Funcionando juntas, duas torneiras levam 6 horas para encher um tanque que está completamente vazio. Se funcionasse sozinha, uma das torneiras levaria 5 horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque.
O tempo que a torneira de menor vazão leva para encher esse tanque, funcionando sozinha, é de
A
10 horas.
B
12 horas.
C
15 horas.
D
18 horas.
E
20 horas.
Soluções para a tarefa
primeira torneira = (x + 5) horas para encher 1 tanque
segunda torneira = x horas para encher 1 tanque
(já que a primeira gasta 5 horas a mais que a segunda)
Bom, se a primeira leva x + 5 horas para encher o tanque sozinha, vamos ver quanto do tanque ela enche em uma hora sozinha:
horas tanque
x + 5 1
1 y
(x + 5).y = 1.1
(x + 5).y = 1
y = 1/(x + 5) do tanque por hora
Vamos ver também quanto do tanque a segunda enche por hora sozinha:
horas tanque
x 1
1 y´
x.y´ = 1.1
x.y´ = 1
y´ = 1/x do tanque por hora
Mas foi dado que as duas enchem o tanque em 6 horas, o que quer dizer que em uma hora:
horas tanque
6 1
1 t
6y = 1.1
6t = 1
t = 1/6
as duas enchem 1/6 do tanque.
Então como temos quanto do tanque cada uma enche em uma hora e quanto do tanque elas enchem juntas em uma hora, podemos somar o que cada uma enche sozinha em uma hora para vermos quanto elas enchem juntas em uma hora:
y + y´= t
1/(x + 5) + 1/x = 1/6, tirando o mínimo,
6x + 6(x + 5) = x.(x + 5)
6x + 6x + 30 = x² + 5x
0 = x² + 5x – 6x – 6x – 30
0 = x² – 7x – 30
x2 – 7x – 30 = 0, resolvendo a equação do 2º grau,
(x – 10).(x + 3) = 0
x = -3 ou x = 10
Como x é o número de horas, só pode ser positivo. Então x = 10, que é o número de horas que a segunda torneira demora para encher o tanque sozinha.
Resposta: 10 horas.
A torneira de menor vazão leva 15 horas para encher o tanque sozinha, alternativa C.
a) Devemos calcular a vazão das torneiras. Considerando que o tanque tem volume V m³, temos que:
- T1
A torneira T1 enche o tanque em 5 horas a mais do que T2, ou seja, sua vazão é de V/(5 + T) m³/h;
- T2
A torneira T2 enche o tanque em T horas, ou seja, sua vazão é de V/T m³/h;
- T1 e T2
As torneiras juntas enchem o tanque em 6 horas, ou seja, a vazão combinada é de V/6 m³/h;
A função que determina o volume de água no tanque é:
V(t) = V0 + (V/(5 + T) + V/T)t
V(t) = V0 + (V/6)·t
onde V0 é o volume inicial. O tanque fica cheio quando V(t) = V. Comparando as equações, temos:
V/(5 + T) + V/T = V/6
Multiplicando tudo por (5 + T)·T·6, temos:
6T·V + 6·(5 + T)·V = (5 + T)·T·V
Simplificando por V:
6T + 30 + 6T = 5T + T²
T² - 7T - 30 = 0
Resolvendo por Bhaskara, encontramos T' = -3 e T'' = 10. Apenas o valor positivo é válido, logo, os tempos que cada torneira leva para encher o tanque sozinha são:
T1 = 5 + 10 = 15 horas
T2 = 10 horas
A torneira que leva mais tempo tem vazão menor.
Resposta: C
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