Função quadrática f(x)=-x²+6x-5
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
i) Pede-se para construir o gráfico da seguinte função quadrática:
f(x) = x² - 6x + 5
5
Fixe-se no 1º gráfico, pois, pelo fato de ele ter uma escala maior fica melhor de visualizar.
ii) Após isso, são pedidas as seguintes informações:
ii.1) a concavidade do gráfico da função. Veja: pelo fato de o termo "a" ser positivo (o termo 'a" em funções qudráticas é o coeficiente de x²), então a concavidade do seu gráfico (parábola) é voltada pra cima (tem um ponto de mínimo). E isso poderá ser visto no próprio gráfico da função que está no endereço acima.
ii.2) Os zeros da função. Veja os zeros da função são as suas raízes. Note que se temos que a função é f(x) = x² - 6x + 5, então se você aplicar a fórmula de Bháskara (que creio você saiba como fazer isso), vai encontrar as seguintes raízes:
x' = 1 e x'' = 5 <---- Estes são os zeros (ou as raízes da função).
ii.3) Quantas raízes a função tem? Como visto acima a função tem duas raízes, que são: x' = 1 e x'' = 5.
ii.4) Quais são as coordenadas do vértice da função? Veja que as coordenadas do vértice {xv; yv) são dadas assim:
xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "-6" e "a' por "1", teremos:
xv = -(-6)/2*1
xv = 6/2
xv = 3 <--- Este é o valor da abscissa do vértice.
e
yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "-6", "a" por "1' e "c" por "5", teremos:
yv = - ((-6)² - 4*1*5)/4*1 ----- desenvolvendo, teremos:
yv = - (36 - 20)/4 ----- como "36-20 = 16", ficaremos:
yv = - (16)/4 ---- retirando-se os parênteses do numerador, teremos:
yv = -16/4 ----- como esta divisão dá exatamente "-4", então teremos:
yv = - 4 <--- Esta é a ordenada do vértice.
Assim, o ponto que dá as coordenadas do vértice (xv; yv) será o ponto:
(3; -4) <--- Este é o ponto que dá as coordenadas do vértice da função.
ii.5) O valor de máximo ou de mínimo da função. Veja que, como o gráfico da função tem um valor de mínimo, então o seu mínimo é dado pelo "y" do vértice (yv), que é:
yv = - 4 <--- Este é o valor mínimo da função da sua questão.
ii.6) A intersecção da parábola com o eixo dos "y" (ou eixo das ordenadas). Veja: para isso, basta irmos na função dada [f(x) = x² - 6x + 5] e fazermos x = 0. Assim, fazendo isso, teremos: f(0) = 0² - 6*0 + 5 ---> f(0) = 0 - 0 + 5 ---> f(0) = 5, ou seja, a parábola cortará o eixo dos "y" quando "x" for igual a "0" , de onde resulta termos y = 5. Assim, o ponto em que a parábola corta o eixo dos "y" será o ponto:
(0; 5) <--- Este é o ponto em que a parábola corta o eixo dos "y". Ou seja, o gráfico da função corta o eixo dos "y" em y = 5.
ii.7) Qual é o eixo de simetria? Veja que o eixo de simetria é dado pelo "x" do vértice que, como já vimos, é igual a "3" <---- Este é o o valor do eixo de simetria.
ii.8) Qual o domínio da função? Note que a função não tem memjuma restrição a que "x" assuma qualquer valor real. Logo, o domínio da função são os Reais.
ii.9) Qual é a imagem da função? Note que o conjunto-imagem da função é dada pelo "y" do vértice (yv). Ou seja, toda função quadrática terá o seu conjunto-imagem como maior ou igual ao yv (se houver ponto de mínimo) ou menor ou igual ao yv (se houver ponto de máximo). Como no caso da função quadrática da função temos um ponto de mínimo, então o conjunto-imagem será dado por: f(x) ≥ -4 <--- Este é o conjunto-imagem da função da sua questão.
1. a) Os coeficientes são
- a = - 1
- b = 6
- c = - 5
b) A coordenada do vértice é V (3, 4)
c) A tabela é
x y
0 - 5
1 0
2 3
3 4
4 3
d) O gráfico está anexo.
c) A concavidade é para cima.
2. a) As raízes são - 2 e 3, o gráfico está anexo.
b) As coordenadas do vértice é V (1, 4).
Funções
As funções são expressões matemáticas que possuem o objetivo de determinar as coordenadas cartesianas que um determinado ponto possui, onde para isso temos que inserir valores para as variáveis e calcular.
1.
a) Os coeficientes são os termos que acompanham as variáveis e os termos independentes, nesse caso, temos:
a = - 1
b = 6
c = - 5
b) Os vértices de uma parábola são encontrados da seguinte forma:
Xv = - b/2a
Xv = - 6/2*(- 1)
Xv = - 6/- 2
Xv = 3
Yv = - Δ/4a
Yv = - ((- 6)² - 4*(- 1)*(- 5))/4*(- 1)
Yv = - (36 - 20)/- 4
Yv = - 16/- 4
Yv = 4
c) Vamos determinar alguns valores, temos:
- f(0) = - 0² + 6*0 - 5 = - 5
- f(1) = - (1)² + 6*1 - 5 = - 1 + 6 - 5 = 0
- f(2) = - 2² + 6*2 - 5 = - 4 + 12 - 5 = 3
- f(3) = - 3² + 6*3 - 5 = - 9 + 18 - 5 = 4
- f(4) = - 4² + 6*4 - 5 = - 16 + 24 - 5 = 3
2. y = - x² + 2x + 3
a) Determinando as raízes, temos:
x = - 2 ± √2² - 4*(- 1)*3/2*(- 1)
x = - 2 ± √4 + 12/- 2
x = - 2 ± √16/- 2
x = - 2 ± 4/- 2
- x' = - 2 + 4/- 2 = 4/- 2 = - 2
- x'' = - 2 - 4/- 2 = - 6/- 2 = 3
b. Determinando as coordenadas do vértice, temos:
Xv = - 2/2*(- 1)
Xv = - 2/- 2
Xv = 1
Yv = - 16/4*(- 1)
Yv = - 16/- 4
Yv = 4
Aprenda mais sobre funções aqui:
brainly.com.br/tarefa/39247432
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