Question

FUNÇÃO QUADRÁTICA

f(x)= -x²+2x-1

DETERMINE

a) as raizes ou zero
b) as cordenadas do vertice
c) o conjunto de imagem
d) o valor maximo ou minimo
e) para que valores de x é crescente
f) para que valores de x é drecrescente
g) o estudo do sinal ( esboço do grafico + reposta)

Answer 1

f(x) = -x² + 2x - 1

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (2)² - 4.(-1).(-1)
Δ = 4 - 4
Δ = 0


a) as raízes ou zero

Como Δ = 0, a função possui apenas uma raiz, que por sua vez também é o "x" do vértice:

$x = \frac{-b^+_-\sqrt{\Delta} }{2.a}$

$x = \frac{-(2)^+_-\sqrt{0} }{2.(-1)}$

$x = \frac{-2}{-2}$

$\boxed{\bold{x = 1}}$



b) as coordenadas do vértice

$x_v = \frac{-b}{2.a}$

$x_v = \frac{-(2)}{2.(-1)}$

$x_v = \frac{-2}{-2}$

$\boxed{\bold{x_v = 1}}$



$y_v = \frac{-\Delta}{4.a}$

$y_v = \frac{-(0)}{4.(-1)}$

$y_v = \frac{0}{-4}$

$\boxed{\bold{y_v = 0}}$



c) o conjunto de imagem

Como "y" do vértice é igual a zero, temos:

Im(f) = {y ∈ R | y ≤ 0}



d) o valor máximo ou mínimo

Como a < 0 (a = -1), temos aqui o valor de máximo, pois a parábola é côncava (∩):

Determinando o valor de máximo:

$y_{max} = c - \frac{b^2}{4.a}$

$y_{max} = (-1) - \frac{(2)^2}{4.(-1)}$

$y_{max} = -1 - \frac{4}{-4}$

$y_{max} = -1 - (-1)$

$y_{max} = -1 + 1$

$\boxed{\bold{y_{max} = 0}}$



e) para que valores de x é crescente

$\boxed{Crescente \ para \ \bold{x \ \textless \ x_v}}$

Ou seja:

$\boxed{Crescente \ para \ \bold{x \ \textless \ 1}}$



f) para que valores de x é decrescente

$\boxed{Decrescente \ para \ \bold{x \ \textgreater \ x_v}}$

Ou seja:

$\boxed{Decrescente \ para \ \bold{x \ \textgreater \ 1}}$



g) o estudo do sinal ( esboço do gráfico + resposta)