Função Exponencial!
(UFRN) No programa de rádio Hora Nacional,
o locutor informa: "Atenção, senhores ouvintes.
Acabamos de receber uma notificação da Defesa
Civil do Pais alertando para a chegada de um
furação de grandes proporções nas proximas 24
horas. Pede-se que mantenham a calma, uma
vez que os orgãos do governo já estão tomando
todas as providências cabíveis".
Para atender às solicitações que seguem, suponha
que o númer de pessoas que tenha acesso
a essa informação, quando transcorrida t hotas
após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão:
f(t)= P / 1+9.(2^pt/3)
Sendo t > 0 e P a população do País.
a) Calcule o percentual da população que tomou
conhecimento da notícia no instante
da sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população
tem acesso a notícia, considerando
que, em 1 hora após a notícia 50% da população
do país já conhecia a informação.
Soluções para a tarefa
f(0) = P/P*0/3) ----> f(0) = P/(1 + 9) ---> f(0) = (1/10)*P ----> [color=red]10% da população
b) Para t = 1 ---> f(1) = P/[1 + 9*(2^-P*1/3) ---> 0,5*P = P/[1 + 9*(2^-p/3) ---> 0,5*[1 + 9*(2^-p/3)] = 1 --->
0,5* 0,5*9*(2^-p/3) = 1 ----> 0,5*9*(2^-p/3) = 0,5 ----> 2^(-p/3) = 1/9 ----> I
Para f(t) = 0,9*P ----> 0,9*P = P/[1 + 9*(2^-P*t/3)] ----> 1 + 9*(2^-P/3)^t = 1/0,9 ---->
9*(2^-P/3)^t = 1/9 ----> *(2^-P/3)^t = (1/9)² ----> (1/9)^t = (1/9)² ----> t = 2
Resposta:
a) 10% b) 2 horas
Explicação passo-a-passo:
no instante de sua divulgação, então f(t) = f(0)
a) f(0)= P/1+9.(2^-p.0/3) a potência zera, logo todo número elevado a 0 é 1
f(0)= P/1+9.1
f(0)= P/10
f(0)= 0,1P
f(0)= 10%
Ele quer em porcentagem 0,1 = 10% porque 1.10/100 é igual a 0,1
b) Primeiro temos que calcular 50% depois 90%. 50%=1/2 que é f(1) por isso fica P/2
f(1)= P/1+9.(2^-p.1/3)
P/2=P/1+9.(2^-p/3)
Cortamos os P para facilitar
1/2=1 /1+9(2^-p/3) passamos para o outro lado multiplicando
1+9(2^-p/3)/2=1 passamos o 2 para o outro lado multiplicando
1+9(2^-p/3)=2
9.2^-p/3=2-1
2^-p/3=1/9
Vamos agora calcular o 90%
90% de P = 0,9P logo 9p/10 que será f(t)
9p/10 = P/1+9(2^-p.t/3)
Cortamos os P a fim de facilitar os cálculos
9/10= 1/1+9(2^-pt/3) passamos o 10 multiplicando
9 = 1 .10/1+9(2^-pt/3)
9[1+9(2^-pt/3)]=10
9+81.2^-pt/3=10
81.2^-pt/3=10-9
2^-pt/3=1/81
(2^-p/3)^t=9^-2 Se voltar lá em cima vai ver quando calculamos 50% 2^-p/3 é igual 1/9. Logo seguimos
(1/9)^t=9^-2
9^-1.t=9^-2
-t = -2 multiplicamos por -1 pois t não pode ser negativo.
-t = -2 .-1
t = 2