Question

Função exponencial, equação exponencial, sistema de equações.

Resolver o sistema de equações:

$\left\{\begin{matrix} 3^x-2^{y^2} =77\\3^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{y^2}{2}}=7 \end{matrix}\right.$

Answer 1

Olá Vinícius.



Organizando as informações:


3^(x) - 2^(y²) = 77 (i)

3^(x/2) - 2^(y²/2) = 7 (ii)



Pela equação (i), temos que:


[3^(x/2)]² - [2^(y²/2)]² = 77

(3^(x/2) - 2^(y²/2)) . (3^(x/2) + 2^(y²/2)) = 77


Note que apareceu o fator da equação (i) no lado esquerdo.

Substituindo:


7 . (3^(x/2) + 2^(y²/2)) = 77

3^(x/2) + 2^(y²/2) = 77/7

3^(x/2) + 2^(y²/2) = 11 (iii)


Somando (ii) e (iii):


(3^(x/2) - 2^(y²/2)) + (3^(x/2) + 2^(y²/2)) = 7 + 11

2 . 3^(x/2) = 18

3^(x/2) = 18/2

3^(x/2) = 3²

Logo:

x/2 = 2

x = 4


Substituindo o valor encontrado para x em (ii).


3^(x/2) - 2^(y²/2) = 7

3^(4/2) - 2^(y²/2) = 7

9 - 2^(y²/2) = 7

- 2^(y²/2) = 7 - 9

- 2^(y²/2) = - 2

2^(y²/2) = 2¹


Logo:


y²/2 = 1

y² = 2

y = ± √2




Dúvidas ? Comente.

Answer 2

Vamos decompor 7 em fatores subtração e que seja número perfeitos:


3^(x/2)-2^(^y²/2)=3^2-2^1


x/2=2

x=2.2

x=4

y^2/2=1


y^2=2.(1)

y^2=2

y=√2

S=[4,√2]

espero ter ajudado!

bom dia!