Question

FUNÇÃO DO 2º GRAU.
A função y = -x² + 40x + 500, representa o faturamento diário de uma organização, em função do número de clientes X.

a) Construa o gráfico
b) Quantos clientes devem ser atendidos para o faturamento ser máximo?
c) Qual será o faturamento máximo?

Answer 1

1º achar as raizes, para isso iguála-se a equação a zero.

$-x^{2} +40x+500=0 \\\\ x^{2}-40x-500=0\\\\ x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a} = \frac{40+-\sqrt{40^{2}-4.1.(-500)}}{2.1} \\\\ x=\frac{40+-\sqrt{1600+2000}}{2} = \frac{40+-\sqrt{3600}}{6} =\frac{40+-60}{2} \\ \\ x_{1} =\frac{40+60}{2}=\frac{100}{2} =50\\ \\ x_{2} =\frac{40-60}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

ou seja o gráfico tem sua concavidade para baixo devido x² ser negativo e cruza o eixo x nos pontos (0; -10) e (0; 50) conforme a imagem.

para determinar o valor máximo calcula-se o valor de y para o ponto médio desses pontos, ou seja:

x = (-10 + 50)/2 = 40/2 = 20

$y = -x^{2} +40x+500\\ \\ y= -20^{2} +40.20+500\\ \\ y=-400+800+500=900$

ou seja tem seu ponto máximo em 20 clientes e o valor máximo é 900