Question

FUNÇÃO COMPOSTA
UFMG
Sejam f(x) = x2 + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que
(fog)(x) = (gof)(x) para todo x real.

Answer 1

 De acordo com o enunciado,

Condição I:

$(f\circ\,g)(x)=(ax+b)^2+3(ax+b)+4\\(f\circ\,g)(x)=a^2x^2+2abx+b^2+3ax+3b+4\\(f\circ\,g)(x)=a^2x^2+(2ab+3a)+(b^2+3b+4)$

Condição II:

$(g\circ\,f)(x)=a(x^2+3x+4)+b\\(g\circ\,f)(x)=ax^2+3ax+(4a+b)$
 
 Igualando-as,

$(f\circ\,g)(x)=(g\circ\,f)(x)\\a^2x^2+(2ab+3a)+(b^2+3b+4)=ax^2+3ax+(4a+b)\\\\\begin{cases}a^2=a\\2ab+3a=3a\;\;\div(a\Rightarrow2b+3=3\Rightarrow2b=0\Rightarrow\boxed{\boxed{b=0}}\\b^2+3b+4=4a+b\Rightarrow0+0+4=4a+0\Rightarrow4a=4\Rightarrow\boxed{\boxed{a=1}}\end{cases}$