Question

FUNÇÃO alguém me ajudaaaa, dada a função...

Answer 1

Queremos definir S = f(-5) + f(√5).

De início, vamos achar f(-5), ou seja, o valor de y quando x = - 5:

$\displaystyle f(x) = \frac{ (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{3} )}{x^2 - 9}$

$\displaystyle f(-5) = \frac{ (\sqrt[]{-5} + \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[]{-5} - \sqrt[]{3} )}{(-5)^2 - 9}$

A expressão no denominador dessa fração, pode ser reescrita segundo o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença de dois termos, representado assim: (a + b).(a - b) = a²- b².

Daí, temos:

$\displaystyle f(-5) = \frac{(\sqrt[]{-5})^2 - (\sqrt[]{3})^2 }{25 - 9}$

$\displaystyle f(-5) = \frac{-5-3}{16}$

$\displaystyle f(-5) = -\frac{8}{16}$

$\displaystyle f(-5) = -\frac{8 \div 8}{16 \div 8}$

$\displaystyle f(-5) = - \frac{1}{2}$

Seguindo adiante, encontremos o valor de f(√5):

$\displaystyle f(x) = \frac{ (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{3} )}{x^2 - 9}$

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{ (\sqrt[]{\sqrt[]{5}} + \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[]{\sqrt[]{5}} - \sqrt[]{3} )}{(\sqrt[]{5})^2 - 9}$

Antes de continuarmos, vamos esclarecer duas propriedades da radiciação, sendo a primeira delas:

1. Se temos raiz de uma raiz, multiplicamos seus índices e conservamos o radicando. Exemplificando:

$\displaystyle \sqrt[p]{\sqrt[q]{a}} = \sqrt[p \cdot q]{a}$

2. A segunda propriedade é a do expoente fracionário. Se existe uma potência de expoente fracionário, podemos transformá-la em raiz apenas conservando a base como radicando, mudando o denominador para o índice e chamando o numerador de expoente do radicando. Exemplo:

$\displaystyle a^{\frac{b}{c}} = \sqrt[c]{a^b}$

Diante disso, podemos prosseguir:

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{ (\sqrt[4]{5} + \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[4]{5} - \sqrt[]{3} )}{5 - 9}$

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{(\sqrt[4]{5})^2 - (\sqrt[]{3})^2 }{-4}$

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{\sqrt[]{5} - 3}{-4}$

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{\sqrt[]{5} - 3}{-4} \cdot \frac{-1}{-1}$

$\displaystyle f(\sqrt[]{5}) = \frac{3 -\sqrt[]{5}}{4}$

Com os valores f(-5) e f(√5) em mãos, podemos achar S tal que:

$\displaystyle S = - \frac{1}{2} + \frac{3 - \sqrt[]{5}}{4}$

A fração 1/2 = 2/4 :

$\displaystyle S = - \frac{2}{4} + \frac{3-\sqrt[]{5}}{4}$

$\displaystyle S = \frac{- 2 + 3 - \sqrt[]{5}}{4}$

$\displaystyle S = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{4}$

---------------------------