Question

Fui em uma loja de smartphones comprar um aparelho, sabendo que a aparelhos das marcas, 5 unidades Apple, 2 unidades Samsung, 6 unidades Nokia, 3 unidades LG, 1 unidade Motorola, 4 unidades Positivo, tenho aparelhos com as mesmas funcionalidades, sabendo disso responda.
A) Vou escolher 2 aparelhos um nokia e outro da apple para 2 amigos, de quantas maneiras posso presentear esses amigos?


B) De quantas maneiras posso organizar esses smartphones em um mostruário de modo que os de mesma marca fiquem sempre juntos?


C) Sabendo que 2 em cada 5 aparelhos adquiridos sao defeituosos, qual e a probabilidade de comprar um smartphone da apple e ser defeituoso?


Com cálculos e bem explicado, obg.

Answer 1

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Tabela:  Quantidade de aparelhos disponíveis por marca:

$\boxed{\begin{array}{c|c} \textsf{Marca}&\textsf{Quantidade}\\ \textsf{Apple}&\mathsf{5}\\ \textsf{Samsung}&\mathsf{2}\\ \textsf{Nokia}&\mathsf{6}\\ \textsf{LG}&\mathsf{3}\\ \textsf{Motorola}&\mathsf{1}\\ \textsf{Positivo}&\mathsf{4} \end{array}}$

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a)

•  Quantidade de maneiras de escolher um aparelho Nokia:

$\mathsf{C_{6,\,1}=\dfrac{6!}{1!\cdot (6-1)!}}\\\\\\ \mathsf{C_{6,\,1}=\dfrac{6\cdot \diagup\!\!\!\! 5!}{1!\cdot \diagup\!\!\!\! 5!}}\\\\\\ \mathsf{C_{6,\,1}=\dfrac{6}{1}}\\\\\\ \mathsf{C_{6,\,1}=6\qquad\quad\checkmark}$


•  Quantidade de maneiras de escolher um aparelho Apple:

$\mathsf{C_{5,\,1}=\dfrac{5!}{1!\cdot (5-1)!}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,1}=\dfrac{5\cdot \diagup\!\!\!\! 4!}{1!\cdot \diagup\!\!\!\! 4!}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,1}=\dfrac{5}{1}}\\\\\\ \mathsf{C_{5,\,1}=5\qquad\quad\checkmark}$


•   Deve-se levar em conta que a situação em que o 1º recebe um aparelho da Nokia e o 2º recebe da Apple é distinta da outra em que o 1º recebe um aparelho da Apple e o 2º recebe da Nokia. Então, devemos levar em conta o total de permutações desses dois elementos:

$\mathsf{P_2=2!}\\\\ \mathsf{P_2=2\cdot 1}\\\\ \mathsf{P_2=2\qquad\quad\checkmark}$


•   Pelo princípio multiplicativo, o total procurado para esta alínea é

$\mathsf{n=P_2\cdot C_{6,\,1}\cdot C_{5,\,1}}\\\\ \mathsf{n=2\cdot 6\cdot 5}\\\\ \!\!\!\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n=60~maneiras} \end{array}}$


Pode-se presentear esses dois amigos de 60 maneiras diferentes.

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b)

•   Permutações entre as diferentes marcas.

Temos seis marcas diferentes. Logo, a quantidade de permutações entre as marcas é

$\mathsf{P_6}\\\\ =\mathsf{6!}\\\\ =\mathsf{720}$


•   Permutações internas entre elementos de mesma marca.

Para cada configuração, deve-se levar em conta que os elementos de uma mesma marca podem estar dispostos em qualquer ordem.

$\begin{array}{lc} \textsf{Apple:}&\quad\mathsf{P_5=5!}\\ \textsf{Samsung:}&\quad\mathsf{P_2=2!}\\ \textsf{Nokia:}&\quad\mathsf{P_6=6!}\\ \textsf{LG:}&\quad\mathsf{P_3=3!}\\ \textsf{Motorola:}&\quad\mathsf{P_1=1!}\\ \textsf{Positivo:}&\quad\mathsf{P_4=4!} \end{array}$


Pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras de se organizar todos os smartphones em um mostruário, de modo que os de mesma marca sempre estejam juntos é

$\mathsf{n=P_6\cdot (P_5\cdot P_2\cdot P_6\cdot P_3\cdot P_1\cdot P_4)}\\\\ \!\!\!\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{n=6!\cdot (5!\cdot 2!\cdot 6!\cdot 3!\cdot 1!\cdot 4!)} \end{array}}$

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c) O experimento é comprar um aparelho da Apple, entre os 5 disponíveis. Calcular a probabilidade de o aparelho comprado apresentar defeito.

Podemos usar a binomial para resolver essa parte.

•  evento sucesso:  o aparelho apresenta defeito, cuja probabilidade é

$\mathsf{p=\dfrac{2}{5}\\\\=0,\!4\qquad\quad\checkmark}$


•  evento fracasso:  o aparelho não apresenta defeito, cuja probabilidade é

$\mathsf{1-p=1-\dfrac{2}{5}\\\\ =\dfrac{3}{5}\\\\=0,\!6\qquad\quad\checkmark}$


O experimento será realizado apenas uma vez, pois será comprado apenas um aparelho entre os 5 disponíveis.


A probabilidade pedida é dada por

$\mathsf{P=C_{5,\,1}\cdot p^1\cdot (1-p)^{5-1}}\\\\ \mathsf{P=5\cdot (0,\!4)^1\cdot (0,\!6)^4}\\\\ \mathsf{P=5\cdot 0,\!4\cdot 0,\!1296}\\\\ \mathsf{P=0,\!2592}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{P=25,\!92~\%} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  princípio fundamental da contagem pfc permutação combinação binomial probabilidade análise combinatória