Question

[Fugindo um pouco do convencional] Quais as duas maneiras pelas quais posso encontrar o décimo quarto número da seguinte sequência:

1, 4 ,9, 16, 25 ...

Answer 1

PRIMEIRO MODO:

A sequência é dada por:

 $(1,4,9,16,25,...)$

Observa-se nesta sequência que seus elementos são os QUADRADOS PERFEITOS do conjunto dos números naturais em ordem crescente, ou seja, a sequência é dada por:

$(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2)$

Com isso é fácil achar o TERMO GERAL desta sequência, ou seja,

$\boxed{\boxed{Termo\ Geral \to a_n = n^2}}$

Com o termo geral fica fácil encontrar o décimo quarto termo:

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}a_n=n^2\\\\a_{14} = 14^2\\\\a_{14}=196\end{array}\right$

SEGUNDO MODO:

Dada a sequência:

$(1,4,9,16,25)$

Temos que:

$Comportamento \to \left\{\begin{array}{ccc}r = a_2-a_1 = a_3-a_2=...=a_n-a_{n-1}\\\\r _1= 4-1\ =3\\r _2= 9-4 = 5\\r_3=16-9 = 7\\r_4 = 25-16 = 9\end{array}\right$

Observa-se que a partir do primeiro termo, os termos seguintes são dados pela soma dos NÚMEROS ÍMPARES, ou seja, temos o seguinte termo geral:

$Termo\ geral \to \left\{\begin{array}{ccc}a_2 = a_1+3\\a_3 = a_2+5\\a_4=a_3+7\\a_5 = a_4+9\\\\a_n = (n-1)^2+(n+n-1)\\\\\boxed{\boxed{a_n = (n-1)^2 + (2n-1)}}\end{array}\right$


$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}a_{14} = a_{13}+(14+13)\\\\a_{14} = a_{13}+27\\\\a_{14} = (n-1)^2+(2n-1)\\\\a_{14} = (14-1)^2 + (28-1)\\\\a_{14} = 13^2+27\\\\\boxed{\boxed{a_{14} = 196}}\end{array}\right$

Espero ter ajudado. =^.^=