Question

Forneça uma fórmula fechada para o seguinte somatório:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1+k-k^2}{(1+k^2)(2-2k+k^2)}}\end{array}$

Dica: soma telescópica.

________

Instruções: A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.

Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)

Answer 1

(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=(Ak+B)/(k²+1)+(Ck+D)/(k²-2k+2)

1+k-k²=(Ak+B)(k²-2k+2)+(Ck+D)(k²+1)

1+k-k²=(A+C)k³+(-2A+B+D)k²+(2A-2B+C)k+(2B+D)

A+C=0 → C=-A
-2A+B+D=-1
2A-2B+C=1
2B+D=1 → D=1-2B

-2A+B+(1-2B)=-1
2A-2B+(-A)=1

-2A-B=-2
A-2B=1

A=1, B=0, C=-1, D=1

Logo:

(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=k/(k²+1)-(k-1)/(k²-2k+2)

(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=k/(k²+1)-(k-1)/[(k-1)²+1]

Assim:

S=Σ {(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]}, de k=1 a k=n

S=Σ {k/(k²+1)-(k-1)/[(k-1)²+1]}, de k=1 a k=n

Seja a(k)=k/(k²+1). Assim:

S=Σ {a(k)-a(k-1)}, de k=1 a k=n

S=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(3)-a(2)+a(2)-a(1)+a(1)-a(0)

Cancelando os termos comuns:

S=a(n)-a(0)

S=n/(n²+1)-0/(0²+1)

S=n/(n²+1)-0

S=n/(n²+1)

//////. ///////. ///////////. ///////. /

boa tarde, dúvidas? comente!! :)