Question

Fórmula de De Moivre (Fuvest)

Dado o complexo z = √3 + i, qual é o menor valor de n ≥ 1 para o qual z^n é um número real?

Answer 1

Irei fazer você imaginar um pouco sobre números complexos em um plano.

Considere um triângulo retângulo em que sua hipotenusa é a reta que liga o número complexo à origem. Considere também que um de seus catetos seja colinear ao eixo x.

Nesse caso, o ângulo formado é a mesma utilizada na fórmula trigonométrica do número complexo, em que a hipotenusa é o módulo do número complexo, e os catetos são os números da parte real e da parte imaginária (no caso raiz de 3 e 1)

A tangente desse ângulo é a razão entre a parte imaginária e a parte real do número complexo.

Considerando o número complexo a+bi, temos:

$tan(\theta)=\frac{b}{a}$

$\theta = arctan(\frac{b}{a})$

$\theta = arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\theta = arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$

$\theta = 30^o$

Quando elevamos um número complexo ao quadrado (2), seu módulo (Hipotenusa) é elevada ao quadrado (2) e seu ângulo multiplicado por 2.
Assim vale para qualquer número n.

Fórmula: $z^n=(a+bi)^n=|z|^n*(cis(nx))=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))$

Irei desconsiderar o módulo nos cálculos, pois não é necessário saber qual é o exato número real que irá originar.

O ângulo formado pelo número complexo √3+i é de 30º

Para que ele se torne real, é necessário que esse ângulo fique igual a 180º ou 360º.

Para ele se tornar 180º, é preciso que ele seja multiplicado por 6, pois 6*30º=180º

Fazendo o processo inverso da fórmula:

Se o ângulo foi multiplicado por 6, o número complexo deve ser elevado a 6 no mínimo, para gerar um número real, que no caso, é negativo. (180º)

Multiplicando o ângulo de 30º pelos números de uma Progressão aritmética  6K, sempre irá gerar números reais, pois os ângulos 180,360,540,720 faz a hipotenusa ser colinear ao eixo x, não existindo mais o cateto oposto ao ângulo theta e consequentemente a parte imaginária do número complexo.

Portanto:

$z=(\sqrt{3}+i)^{6k}$

Será real para $(k \in \mathbb{Z})$

E o menor valor de n é 6.