Formar uma equação algébrica de coeficientes reais, com grau mínimo,cujas raízes são: 5,-3 e 2
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O polinômio de menor grau que pode ser escrito desta forma
Perceba que nesse polinômio se x = r1 a primeira parte vai zerar e consequentemente o polinômio vai dar 0. Se x = r2 ou x = r3 o polinômio vai zerar pelo mesmo motivo
__________
As raízes já são conhecidas então fica fácil obter a equação algébrica
Fazendo a distributiva na primeira parte e na segunda
Podemos testar com o dispositivo de Briot - Ruffini
Encontrando as outras duas raízes da equação do segundo grau que obtivemos
Está confirmado que o polinômio é esse
Dúvidas? Comente
Bons estudos! :)
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Vamos lá.
Veja, Dani, que se são três raízes (x' = - 3. x'' = 2 e x''' = 5), então o grau mínimo do polinômio a ser formado com essas três raízes será do 3º grau, pois note que uma equação da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''', poderá ser fatorado da seguinte forma, em função de suas raízes:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').
Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então o polinômio p(x) que poderá ser formado com as raízes dadas será do seguinte tipo:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-(-3))*(x-2)*(x-5) ---- desenvolvendo, teremos:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x+3)*(x-2)*(x-5) ----- fazendo a = 1, então teremos:
1x³ + bx² + cx + d = 1*(x+3)*(x-2)*(x-5) ---- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + bx² + cx + d = (x+3)*(x-2)*(x-5) ---- aplicando a distributiva no 2º membro e já fazendo a devida redução dos termos semelhantes, ficaremos com:
x³ + bx² + cx + d = x³ - 4x² - 11x + 30.
Assim, como você viu, é "3" o grau mínimo (3º grau) do polinômio que foi formado com as três raízes dadas.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Dani, que se são três raízes (x' = - 3. x'' = 2 e x''' = 5), então o grau mínimo do polinômio a ser formado com essas três raízes será do 3º grau, pois note que uma equação da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''', poderá ser fatorado da seguinte forma, em função de suas raízes:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').
Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então o polinômio p(x) que poderá ser formado com as raízes dadas será do seguinte tipo:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x-(-3))*(x-2)*(x-5) ---- desenvolvendo, teremos:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x+3)*(x-2)*(x-5) ----- fazendo a = 1, então teremos:
1x³ + bx² + cx + d = 1*(x+3)*(x-2)*(x-5) ---- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + bx² + cx + d = (x+3)*(x-2)*(x-5) ---- aplicando a distributiva no 2º membro e já fazendo a devida redução dos termos semelhantes, ficaremos com:
x³ + bx² + cx + d = x³ - 4x² - 11x + 30.
Assim, como você viu, é "3" o grau mínimo (3º grau) do polinômio que foi formado com as três raízes dadas.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Agradecemos à moderadora Meurilly pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
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