Question

Formar uma equação algébrica de coeficientes reais, com grau mínimo,cujas raízes são: 5,-3 e 2

Answer 1

O polinômio de menor grau que pode ser escrito desta forma

     $\mathsf{p(x)=(x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})}$


Perceba que nesse polinômio se x = r1 a primeira parte vai zerar e consequentemente o polinômio vai dar 0. Se x = r2 ou x = r3 o polinômio vai zerar pelo mesmo motivo

__________


As raízes já são conhecidas então fica fácil obter a equação algébrica

     $\mathsf{p(x)=(x-5)\cdot (x-(-3))\cdot (x-2)}$

     $\mathsf{p(x)=(x-5)\cdot (x+3)\cdot (x-2)}$


Fazendo a distributiva na primeira parte e na segunda

     $\mathsf{p(x)=(x^{2}+3x-5x-15)\cdot (x-2)}$

     $\mathsf{p(x)=(x^{2}-2x-15)\cdot (x-2)}$

     $\mathsf{p(x)=x^{3}-2x^{2}-15x-2x^{2}+4x+30}$

     $\boxed{\begin{array}{c} \mathsf{p(x)=x^{3}-4x^{2}-11x+30} \end{array}}$


Podemos testar com o dispositivo de Briot - Ruffini

     $\begin{array}{c|c|c} \mathsf{\ }&\mathsf{1\ \ \ \ -4\ \ \ \ -11}&\mathsf{\ \ 30}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{---------------------------------}\!\!\!&\!\!\textsf{-----------}\!\!\!\!\\ \mathsf{2}&\downarrow\ \ \ \ \ \ \ \mathsf{2}\ \ \ \ \ \ \mathsf{-4}&\mathsf{-30}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{---------------------------------}\!\!\!&\!\!\textsf{-----------}\!\!\!\!\\ \mathsf{\ }&\mathsf{1}\ \ \ \ \ \ \mathsf{-2} \ \ \ \ \ \mathsf{-15} &\mathsf{\ \ 0}\\ \end{array}$


Encontrando as outras duas raízes da equação do segundo grau que obtivemos

     $\mathsf{x^{2}-2x-15=0}$


$\left.\begin{matrix}\begin{array}{l} \mathsf{S = 2}\\\\ \mathsf{P=-15} \end{array} \end{matrix}\right|\begin{matrix} \mathsf{\ x'=-3}\\\\ \mathsf{x''=5} \end{matrix}$


Está confirmado que o polinômio é esse


Dúvidas? Comente


Bons estudos! :)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dani, que se são três raízes (x' = - 3. x'' = 2 e x''' = 5), então o grau mínimo do polinômio a ser formado com essas três raízes será do 3º grau, pois note que uma equação da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''', poderá ser fatorado da seguinte forma, em função de suas raízes:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então o polinômio p(x) que poderá ser formado com as raízes dadas será do seguinte tipo:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-(-3))*(x-2)*(x-5)  ---- desenvolvendo, teremos:
ax³ + bx² + cx + d = a*(x+3)*(x-2)*(x-5) ----- fazendo a = 1, então teremos:
1x³ + bx² + cx + d = 1*(x+3)*(x-2)*(x-5) ---- ou, o que é a mesma coisa:
x³ + bx² + cx + d = (x+3)*(x-2)*(x-5) ---- aplicando a distributiva no 2º membro e já fazendo a devida redução dos termos semelhantes, ficaremos com:

x³ + bx² + cx + d = x³ - 4x² - 11x + 30.

Assim, como você viu, é "3" o grau mínimo (3º grau) do polinômio que foi formado com as três raízes dadas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.