Question

(Formação de gelo em um lago) Suponha que y represente a espessura do gelo como função do tempo, t. Como quanto mais espesso é o gelo, mais tempo é necessário para que o calor o atravesse, vamos supor que a taxa segundo a qual o gelo se forma seja inversamente proporcional a espessura. Encontre a equação diferencial que molde a situação, resolva o problema de valor inicial considerando y(0)=0. O que acontece à medida que o gelo vai ficando mais espesso?

Answer 1

Manolo,

O problema propõe na primeira frase que $y=f(t)$.
A seguir ele diz que a taxa com a qual o gelo se forma($dy/dt$), é inversamente proporcional a espessura que chamamos de $y$.
Dessa forma a medida que $y$ aumenta, $dy/dt$ diminui, logo podemos diizer que $dy/dt=1/y$.

Resolvendo a equação diferencial temos:

$dy/dt=1/y$
$y dy=1 dt$
Integrando os dois lados...
$y^2/2=t$
$y^2=2t$
$y= \sqrt{2t} +c$
Como $y(0)=0$, logo $c=0$ e temos: $y= \sqrt{2t}$.

A medida que o gelo fica mais espesso, a taxa de aumento da camada em relação ao tempo diminui.