forma trigonométrica de um número complexo
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) i tg θ
Explicação passo-a-passo:
⇒ z² = (cos θ + i sen θ)² =
= cos²θ + i² sen²θ + 2i · sen θ · cos θ =
= cos²θ - sen²θ + 2i · sen θ · cos θ.
⇒ z² - 1 =
= cos²θ - sen²θ + 2i · sen θ · cos θ - cos²θ - sen²θ =
= -2 · sen²θ + 2i · sen θ · cos θ =
= 2 sen θ (i cos θ - sen θ).
⇒ z² + 1 =
= cos²θ - sen²θ + 2i · sen θ · cos θ + cos²θ + sen²θ =
= 2 · cos²θ + 2i · sen θ · cos θ =
= 2 cos θ (cos θ + i sen θ).
Dividindo z² - 1 por z² + 1, ficaremos com:
tg θ (i cos θ - sen θ) / (cos θ + i sen θ).
⇒ (i cos θ - sen θ) / (cos θ + i sen θ) =
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
= (i cos θ - sen θ) · (cos θ - i sen θ) / [(cos θ + i sen θ) · (cos θ - i sen θ)] =
= (i cos²θ - i² sen θ cos θ - sen θ cos θ + i sen²θ) / (cos²θ - i² sen²θ) =
= [i (cos²θ + sen²θ) + sen θ cos θ - sen θ cos θ] / (cos²θ + sen²θ) =
= i.
Logo, tg θ (i cos θ - sen θ) / (cos θ + i sen θ) = i tg θ.