Question

forma trigonometrica de 1+cosx+isenx

Answer 1

Boa tarde!

Um número complexo em sua forma algébrica tem o seguinte formato:

$z=a+bi$

Onde a é a parte real e b a parte imaginária.

Sua forma trigonométrica (ou polar) tem o seguinte formato:

$z=\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$

Onde ρ é o módulo deste número complexo e φ o argumento.

Estes dois últimos podem ser obtidos pelas seguintes fórmulas:

$\rho=\sqrt{a^2+b^2}\\\tan\phi=\dfrac{b}{a}$

De posse das fórmulas anteriores e do dado:

$x=1+\cos x+i\sin x$

De onde tiramos:

$a=1+\cos x\\b=\sin x$

Podemos calcular o módulo:

$\rho^2=(1+\cos x)^2+\sin^2 x\\\rho^2=1+2\cos x+\cos^2 x + \sin^2 x\\\rho^2=1+2\cos x+1\\\rho=\sqrt{2\cdot\left(1+\cos x\right)}$

Agora, o ângulo (argumento):

$\tan\phi=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\\\phi=\dfrac{x}{2}$

Então, na forma trigonométrica:

$\sqrt{2\cdot\left(1+\cos x\right)}\cdot\left[\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]$

Espero ter ajudado!