Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = x/100, para x no intervado [0, 2pi]. O número de..? (Fuvest-SP) Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = x/100, para x no intervado [0, 2pi]. O número de pontos comuns aos dois gráficos é: a) 16
b) 8
c) 4
d) 2
e) 1
Por favor escrever passo a passo a resolução
Soluções para a tarefa
bom dia
essa é uma questão que envolve um conceito bastante "primitivo" de equação transcendental. A princípio não há cálculos para desenvolvermos a expressão (no ensino superior existirá uma matéria chamada Métodos Numéricos) portanto o exercício apenas exigirá que o candidato esboçe uma curva caracteristica de cada função em um mesmo sistema cartesiano e observar os pontos de interseção.
período de sen4x:
seja 4x = t
período de sen t = 2π (para t variando de 0 a 2π, por exemplo, sen t é constante)
se t = 0, então 4x = 0 ⇒ x = 0
se t = 2π, então 4x = 2π ⇒ x = π/2
período de sen4x = π/2
Im(f) = [-1, 1]
g(x) = x/100 é uma função linear
para x variando de [0, 2π] teremos:
g(x) = x/100
y' = 0/100 = 0
y'' = 2π/100 = π/50
considerando π = 3,14 vem:
y'' = 3,14/50 = 0,0628
como o gráfico de uma função linear é uma reta e contínua, concluimos que a imagem de g(x) está contida no intervalo [0, 0,0628]. Em outras palavras, o gráfico em nenhum momento se desloca fora da imagem de sen 4x.
como o periodo de sen4x = π/2, para 2π ele dará:
2π = π/2 * z
z = 4 ciclos completos.
sen 0 = 0, e o gráfico da função seno partirá do zero. Este será o 1º ponto de interseção de ambos, pois a função linear também parte do zero.
A partir daí podemos ver que, para cada ciclo da função sen4x, a reta irá interceptar o gráfico em 2 pontos (faça um esboço no papel). Para 4 ciclos, temos 8 pontos de interseção.
Alternativa b