(FMABC-SP) — As coordenadas de três dos quatros vértices do trapézio retângulo FABC, indicado no plano cartesiano, são F (-3; 3), A (3; -1) e B (8; 1).
O vértice C desse trapézio tem x igual a
A
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B
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C
tamanho 14px menos tamanho 14px 11 sobre tamanho 14px 20
D
tamanho 14px menos tamanho 14px 14 sobre tamanho 14px 25
E
tamanho 14px menos tamanho 14px 6 sobre tamanho 14px 13
Soluções para a tarefa
O vértice C desse trapézio tem x igual a -7/13.
Vamos considerar que o vértice C é igual a C = (x,y).
De acordo com o enunciado, o trapézio é retângulo. Isso significa que os vetores FA e FC, FC e BC são perpendiculares.
Sendo F = (-3,3), A = (3,-1) e B = (8,1), temos que os vetores FA, FC e BC são iguais a:
FA = (3,-1) - (-3,3)
FA = (6,-4)
FC = (x,y) - (-3,3)
FC = (x + 3, y - 3)
BC = (x,y) - (8,1)
BC = (x - 8, y - 1).
Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar é igual a zero. Logo:
(6,-4).(x + 3, y - 3) = 0
6x + 18 - 4y + 12 = 0
6x - 4y = -30
3x - 2y = -15
e
(x - 8, y - 1).(x + 3, y - 3) = 0
(x - 8).(x + 3) + (y - 1).(y - 3) = 0
x² - 5x + y² - 4y - 21 = 0.
De 3x - 2y = -15, podemos dizer que:
2y = 3x + 15
y = (3x + 15)/2.
Substituindo o valor de y na equação x² - 5x + y² - 4y - 21 = 0, obtemos a equação do segundo grau 13x² + 23x + 21 = 0.
As resolvê-la, obtemos x = -3 ou x = -7/13.
Como x = -3 nos dará y = 3 e F = (-3,3), podemos concluir que o x do vértice C é x = -7/13.