Question

Fiz uma prova hoje e não consegui completar um exercicio, se alguém puder resolver e me mostrar a resolução, agradeço. Segue:

∫∫∫ (x³ +xy²) dzdrd$\phi$

Sendo os limites:
* 0 ≤ z ≤ 1 - r² ;
* 0 ≤ r ≤ 1 ;
* 0 ≤ $\phi$ ≤ $\frac{\pi}{2}$ .

Answer 1

$\displaystyle x(x^2+y^2)=r\cos \phi (r^2\cos^2 \phi+r^2\sin \phi)\\ \\ x(x^2+y^2)=r^3\cos \phi\\ \\ \\ \iiint r^3\cos \phi dzdrd\phi =\int_{0}^1(1-r^2)dr\int_{0}^{\pi/2}r^3\cos \phi d\phi\\ \\ \\ \iiint r^3\cos \phi dzdrd\phi =\int_{0}^1r^3-r^5\left.(\sin \phi)\right|_{0}^{\pi/2}dr \\ \\ \\ \iiint r^3\cos \phi dzdrd\phi =\int_{0}^1r^3-r^5 dr\\ \\ \\ \\ \boxed{\iiint r^3\cos \phi dzdrd\phi =\frac{1}{12}}$