Question

fiz mais acho que estar errado ajuda ai
O trecho de um rio em que as margens são retilíneas e paralelas foi fotografado por um avião. Para melhor focalização, fixou-se um sistema de coordenadas cartesianas, sendo o quilômetro a unidade de medida.
Os pontos A (-3,1) e B (1,p) representam dois pequenos vilarejos situados na mesma margem. Na margem oposta, encontra-se um pequeno ancoradouro, representado por C, de onde se enviam barcos com mantimentos aos vilarejos da outra margem. Sabe-se que:
C é equidistante de A e B.
No sistema acima, a reta AB tem equação 6x-8y+26=0

a) Determine o valor de p
b) Obtenha as coordenadas de C e a equação geral da reta que representa a margem do rio em que se encontra o conto C
c)que distancia o barco percorre para ir de C a B
d)qual e a maior distancia possível de C a outra margem

Answer 1

Boa tarde.

O primeiro passo é notar que A e B estão sobre a reta $\mathsf{6x-8y+26=0}$

Assim, as coordenadas x e y dos pontos A e B devem satisfazer à equação da reta. Assim, se substituirmos x = 1(coordenada x do ponto B) na equação teremos o valor y correspondente, que será igual a p.


$\mathsf{6\cdot(1)-8p+26=0}\\ \\\mathsf{32-8p = 0}\\ \\ \mathsf{8p=32}\\ \\ \boxed{\mathsf{p=4}}$



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b) C é equidistante de A e B, então a distância do ponto A a C deve ser a mesma de B a C.

$\mathsf{d_{AC}=d_{BC}}\\ \\ \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\ \\ \mathsf{(x+3)^2+(y-1)^2=(x-1)^2+(y-4)^2}\\ \\ \mathsf{\not{x^2}+6x+9+\not{y}^2-2y+\not1=\not{x^2}-2x+\not1+\not{y}^2-8y+16}\\ \\ \mathsf{6x+2x-2y+8y+9-16=0}\\ \\ \mathsf{8x+6y-7=0}$

Note que essa equação faz todo sentido, pois temos uma reta mediatriz de A e B. Se você checar, ela é perpendicular à reta AB. 

Vemos facilmente que o ponto C possui coordenada y = 0; Substituindo isso na equação que encontramos:

$\mathsf{8x+6(0)-7 = 0}\\ \\ \mathsf{8x=7}\\ \\ \boxed{\mathsf{x = \dfrac{8}{7}}}$