Question

●Física Dinâmica
36. 0 peso A, de massa m, cai da altura h. 0 corpo C, de massa m, que se encontrava parado, aumenta a sua velocidade até o peso A chegue ao solo. A partir desse instante, passa a mover-se com velocidade constante.

36,1. Como varia a energia cinética do corpo C:

(A) Durante a queda do corpo A?

(B) Após o corpo A ter chegado ao solo?

$\large \red{ \mid{ \underline{ \overline { \tt Att: \mathbf{JOVIAL :- )}}} \mid}}$​

Answer 1

Energia Cinética

Obs.: leia a solução pelo navegador!

   A definição diz que:

$E_c=\dfrac{1}{2}mv^2$

   Essa definição vem do Teorema da Energia Cinética. Tal Teorema foi demonstrado nessa atividade:

https://brainly.com.br/tarefa/29759705

   Vamos começar a solução seguindo o passo a passo para solucionarmos qualquer questão de dinâmica:

https://brainly.com.br/tarefa/30929052

   Começaremos escrevendo a equação para o corpo A:

$Corpo~A:$

$\vec{P}+\vec{T}=\vec{Fr_A}\Rightarrow |\vec{P}|-|\vec{T}|=m_a\cdot |\vec{A}|\quad(I)$

   Agora, o segundo corpo:

$Corpo~C:$

$\vec{T}=\vec{Fr_C}\Rightarrow |\vec{T}|=m_c\cdot |\vec{a}|\quad(II)$

   Vínculo:

   Note que A só pode descer uma quantidade $x_A$ de fio, à medida que C aproxima-se da polia uma quantidade $x_C$ de fio. Considerando que o fio é ideal, podemos escrever que,

$\displaystyle{x_A=x_C\xrightarrow[]{Derivando~em~t}~\dfrac{\mathrm{d} x_A}{\mathrm{d} t}=\dfrac{\mathrm{d} x_C}{\mathrm{d} t}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow v_A=v_C\xrightarrow[]{Derivando~em~t}~\dfrac{\mathrm{d} v_A}{\mathrm{d} t}=\dfrac{\mathrm{d} v_C}{\mathrm{d} t}~\therefore}$

$\therefore~|\vec{A}|=|\vec{a}|\quad(III)$

   Sendo assim,

$|\vec{P}|-|\vec{T}|=m_a\cdot A\Rightarrow m_ag-|\vec{T}|=m_a\cdot A\xrightarrow[]{(II)}~m_ag-m_c\cdot a=m_a\cdot A\Rightarrow$

$\Rightarrow m_ag=m_A\cdot A+m_c\cdot a\xrightarrow[]{(III)}~m_ag=(m_a+m_c)\cdot a~\therefore$

$\therefore~a=g\bigg (\dfrac{m_a}{(m_a+m_c)}\bigg )\quad(\alpha)$

   Como podemos ver a aceleração do corpo é constante, isso faz com que a velocidade de C varie linearmente. Isso possibilita escrevermos a velocidade de C em função do tempo da seguinte forma:

$v(t)=v_0+at$

   Como o corpo estava parado inicialmente, temos: $v_0=0$. Daí,

$v(t)=at\xrightarrow[]{(\alpha)}~v(t)=g\bigg (\dfrac{m_a}{(m_a+m_c)}\bigg )\cdot t$

    Dessa forma,

$[v(t)]^2=g^2\bigg (\dfrac{m_a}{(m_a+m_c)}\bigg )^2\cdot t^2$

   Pela definição de energia cinética:

$E_c=\dfrac{1}{2}m[v(t)]^2\Rightarrow E_c=\dfrac{m_c}{2}\cdot g^2 \bigg (\dfrac{m_a}{(m_a+m_c)}\bigg )^2\cdot t^2$

   Simplificando,

$E_c=\bigg (\dfrac{m_cm_a^2g^2}{2(m_a+m_c)^2}\bigg )\cdot t^2\quad(\varepsilon)$

   Vamos para o segundo item da questão:

   Pelo Teorema podemos escrever que o trabalho da força peso foi convertido em energia cinética para A e para B.

$W_p=\dfrac{1}{2}m_av_a^2+\dfrac{1}{2}m_cv_c^2$

    Contudo, quando A atinge o solo, o corpo C para de ser acelerado pela tração do fio.

   Isso ocorre, pois A para de acelerar-se (e consequentemente de puxar) e C continua empurrando o fio. Então ele fica "foló" auhsuas. Perde a tração. (Veja a imagem 2)

   Com isso, concluímos que a aceleração de C se anula. No momento em que C perde a aceleração, sua velocidade passa a ser constante. Logo, sua Energia Cinética também. Visto que esta energia é inerente a velocidade. Daí,

$E_c=cte.$

   Agora, vamos calcular o quanto de energia tem C. Para isso, vamos calcular o tempo que leva para o sistema colidir com o solo.

$s=s_0+v_0\Delta t+\dfrac{1}{2}a\Delta t^2\Rightarrow$

$h=\dfrac{1}{2}a\Delta t^2~\xrightarrow[]{(\alpha)}~$

$\xrightarrow[]{(\alpha)}~h=\dfrac{1}{2}g\bigg (\dfrac{m_a}{(m_a+m_c)}\bigg ) \Delta t^2$

$h=\dfrac{1}{2}g\bigg (\dfrac{m_A}{(m_A+m_C)}\bigg ) \Delta t^2$

$\Delta t^2=\dfrac{2h}{g}\cdot\bigg(\dfrac{m_A+m_C}{m_A}\bigg)$

   Note que fizemos s₀ = 0 e v₀ = 0. Sabemos que Δt = t - t₀, quando t₀ = 0, podemos escrever Δt = t.

$t^2=\dfrac{2h}{g}\cdot\bigg(\dfrac{m_A+m_C}{m_A}\bigg)\quad(\beta)$

   Agora, vamos substituir esse valor em $(\varepsilon)$:

$E_c=\bigg (\dfrac{m_cm_a^2g^2}{2(m_a+m_c)^2}\bigg )\cdot \dfrac{2h}{g}\cdot\bigg(\dfrac{m_a+m_c}{m_a}\bigg)$

   Logo,

$E_c=\dfrac{m_am_cgh}{m_a+m_c}$  

   A partir desse valor a energia cinética de C não mais se altera.

   Obs.: observe que a energia cinética foi escrita em função do tempo de queda. Quando A inicial a queda o tempo passa a ser contado (t₀ = 0), até que atinja o valor mostrado na equação (β). A questão poderia pedir, também, a energia cinética em função da altura que A encontra-se do solo.