Question

(FGV-SP)x^6 y^9 é a parte literal de um dos termos do desenvolvimento de (x + y)^n . O termo cuja razão entre o seu coeficiente e o coeficiente do termo seguinte é igual a 7/9 é:

a) o 8.° termo
b) o 7.° termo
c) o 6.° termo
d) o 5.° termo
e) o 4.° termo

Answer 1

→De maneira genérica todo binômio pode ser escrito na forma de$(x+y)^n$

→O Binômio de Newton é escrito da seguinte forma ( não consegui escrever de outra maneira ) :

$(\frac{n!}{p!(n-p)!} ).x^n^-^p.y^p$

→Como $x^6.y^9$ é um dos termos desse binômio , logo :

 $\left \{ {{n-p=6} \atop {p=9}} \right.$
$n = 15$

→ O ''grau'' do binômio é 15 , logo o binômio em questão é $(x+y)^1^5$

→Agora irei usar a complementaridade dos termos do binômio para excluir algumas alternativas

.Pela fórmula do binômio $\frac{n!}{p!(n-p)!}$ você percebe por exemplo que termos complementares possuíram o mesmo coeficientes,  exemplificando :

.O termo 8 e 7 são complementares se você analisar que n = 15 , porque

$\frac{15!}{7!(15-7)!} = \frac{15!}{8!(15-7)!}$
$\frac{15!}{7!.8!} = \frac{15!}{8!.7!}$

. Ao simplificar essa expressão o resultado é 1 de ambos os lados da igualdade , o que resulta na não consideração do termo 8 ( letra a )
→ Lembrando que quando p = 7 , isso significaria que ele seria o 8° termo do binômio porque p = [ 0,1,2, ... , 15 ]

→ Agora vou desenvolver o 7° termo :

$[\frac{n!}{p!.(n-p)!} ].x^n^-^p.y^p$
$[\frac{15!}{6!.(15-6)!} ].x^1^5^-^6.y^6$
$[ \frac{15.14.13.12.11.10.9!}{9!.6.5.4.3.2} ].x^9.y^6$
$(13.11.7.5).x^9.y^6$    ← 7° termo

→ Agora vou desenvolver o termo seguinte do 7° que seria o 8° ( perceba que se eu quero o termo '' x '' no caso o 7° , sendo o 8° seria '' x+1 '' )

$[\frac{n!}{p!.(n-p)!} ].x^n^-^p.y^p$
$[\frac{15!}{7!.(15-7)!}] .x^1^5^-^7.y^7$
$[\frac{15.14.13.12.11.10.9.8!}{8!.7.6.5.4.3.2} ].x^8.y^7$
$[ 13.11.9.5 ] . x^8.y^7$   ← 8° termo

→ Agora vou fazer a ração entre os coeficientes do 7° e do 8° :

$\frac{[13.11.7.5]}{[13.11.9.5]}$     ( simplificando )
$\frac{7}{9}$

→ Então o termo cuja razão com seu conseguinte é 7/9 seria o 7° termo , letra b)

Answer 2

No desenvolvimento do binômio

$(x+y)^n$

sabemos que o termo na posição $(p+1)$ é dado por

$t_{p+1}=\dbinom{n}{p}\,x^{n-p}\,y^p$      com $p\in\mathbb{N},\,0\le p\le n.$


Como a parte literal de algum termo é $x^6 y^9,$ então devemos ter

$x^6y^9=x^{n-p}\,y^p$

para algum $p.$


Igualando os expoentes, devemos ter

$p=9$

$n-p=6~~\Rightarrow~~n-9=6~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c}n=15 \end{array}}$


Trata se do desenvolvimento de um binômio de grau $15.$

_______

O termo da posição $(p+1)$ é dado por

$t_{p+1}=\dbinom{15}{p}\,x^{15-p}\,y^p$

sendo $\dbinom{15}{p}$ o coeficiente do termo desta posição.


Queremos encontrar $p$ de forma que a razão entre os coeficientes dos termos das posições $(p+1)$ e $(p+2)$ seja $\dfrac{7}{9}:$

$\dfrac{\binom{15}{p}}{\binom{15}{p+1}}=\dfrac{7}{9}\\\\\\ \dbinom{15}{p}\cdot \dfrac{1}{\binom{15}{p+1}}=\dfrac{7}{9}\\\\\\ \dfrac{15!}{p!\cdot (15-p)!}\cdot \dfrac{1}{\frac{15!}{(p+1)!\cdot (15-(p+1))!}}=\dfrac{7}{9}\\\\\\ \dfrac{15!}{p!\cdot (15-p)\cdot (15-p-1)!}\cdot \dfrac{(p+1)\cdot p!\cdot (15-(p+1))!}{15!}=\dfrac{7}{9}\\\\\\ \dfrac{15!}{p!\cdot (15-p)\cdot (15-(p+1))!}\cdot \dfrac{(p+1)\cdot p!\cdot (15-(p+1))!}{15!}=\dfrac{7}{9}$


Simplificando os fatores comuns das frações no lado esquerdo, ficamos com

$\dfrac{p+1}{15-p}=\dfrac{7}{9}$

$9(p+1)=7(15-p)\\\\ 9p+9=105-7p\\\\ 9p+7p=105-9\\\\ 16p=96\\\\ p=\dfrac{96}{16}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}p=6\end{array}}$


De acordo com o problema proposto, a posição procurada é a posição

$p+1\\\\ =6+1\\\\ =7$


A razão entre o 7º e o 8º termo é igual a $\dfrac{7}{9}.$


Resposta: alternativa b) o 7º termo.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)