Question

FGV-SP Um número de dois algarismos é tal que o algarismo da dezena é
$\frac{3}{4}$
do algarismo da unidade. Se os algarismos forem permutados entre si, obtém-se um numero que é 9 unidades maior do que o primeiro. Então, a soma dos dois algarismos é:

A) 8
B) 5
C) 6
D) 9
E) 7
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Answer 1

Número de dois algarismos: XY

Em que:

- X varia de 1 a 9 (não pode ser 0)

- Y varia de 0 a 9 (não há restrições)

Se o algarismo da dezena é 3/4 do algarismo da unidade, sabemos que a DEZENA é MENOR que a UNIDADE (3/4 < 1)

X = 3/4 . Y

X = 3.Y / 4

Ao trocarmos X por Y, temos:

YX

Esse número é 9 unidades maior que o primeiro, então sabemos que:

XY + 9 = YX

Podemos escrever XY e YX de outra forma, veja:

XY = 10.X + Y

YX = 10.Y + X

Assim, equacionando:

10.X + Y + 9 = 10.Y + X

9.X + 9 = 9.Y

9.(X+1) = 9.Y

(X+1) = Y

X + 1 = Y

Dessa forma, temos um sistema de equações. Vamos resolvê-lo.

X = 3.Y/4  ( I )

X + 1 = Y   ( II )

Substituindo I em II:

3.Y/4 + 1 = Y

1 = Y - 3.Y/4

1 = Y/4

Y = 4

Se Y = 4:

X + 1 = 4

X = 4 - 1

X = 3

Assim, a soma de X e Y é 7.

NÚMERO INICIAL: 34

NÚMERO PERMUTADO: 43

34 + 9 = 43 (ESTÁ COMPROVADO)

Resposta: Letra E)