Question

(FGV - SP) Se senx + seny = raiz15/3 e cosx +cosy = 1, então, sec (x+y) é igual a:
a)1/3
b)1/2
c)2
d)3
e)4
Gabarito: d)3

Answer 1

Se o gabarito é 3, então a pergunta é sec(x - y) (considerarei isso)

Usaremos as fórmulas :
sen²(θ) + cos²(θ) = 1

cos(x - y) = cos(x)*cos(y) + sen(x)*sen(y) 

sec(θ) = 1/cos(θ)
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sen(x) + sen(y) = √15 / 3
cos(x) + cos(y) = 1

Elevando os dois lados ao quadrado nas duas equações :

(sen(x) + sen(y))² = (√15 / 3)² ⇒ Por trinômio quadrado perfeito :
sen²(x) + 2*sen(x)*sen(y) + sen²(y) = 15/9

(cos(x) + cos(y))² = (1)² ⇒ Por trinômio quadrado perfeito :
cos²(x) + 2*cos(x)*cos(y) + cos²(y) = 1

Somando as duas equações :

sen²(x) + 2*sen(x)*sen(y) + sen²(y) = 15/9
cos²(x) + 2*cos(x)*cos(y) + cos²(y) = 1      +
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sen²(x) + cos²(x) + 2*sen(x)*sen(y) + 2*cos(x)*cos(y) + sen²(y) + cos²(y) = 15/9 + 1

Tem-se que : sen²(θ) + cos²(θ) = 1, logo : sen²(x) + cos²(x)  = sen²(y) + cos²(y) = 1

1 + 2*sen(x)*sen(y) + 2*cos(x)*cos(y) + 1 = 15/9 + 1

2 + 2*(sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y)) = 15/9 + 1 ⇒ MMC :

2 + 2*(sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y)) = (15 + 1*9)/9

2 + 2*(sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y)) = 24/9

2*(sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y)) = 24/9 - 2 ⇒ MMC :

2*sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y) = (24-18)/9

2*sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y) = 6/9

sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y) = 6/(9*2)

sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y) = 6/18 ⇒ Simplificando :

sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y) = 1/3 ⇒

Mas (sen(x)*sen(y) + cos(x)*cos(y)) = cos(x - y) :

cos(x - y) = 1/3

Logo :  

Sec(x - y) = 1/ cos(x - y)

Sec(x - y) = 1/(1/3)

Sec(x - y) = 3