Question

(FGV-SP) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 – 10x < -16?
A) 53 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
alguém me explica?

Answer 1

Resposta:  alternativa (C) 5.

Explicação passo a passo:

Primeiramente, vamos encontrar o conjunto solução da inequação:

    $x^2-10x < -16$

Vamos completar o quadrado do lado esquerdo. Some $25=5^2$ a ambos os membros:

    $\Longleftrightarrow\quad x^2-10x+25 < -16+25\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-10x+25 < 9$

Identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma diferença (produtos notáveis)

    $\Longleftrightarrow\quad (x-5)^2 < 9$

A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Logo, a desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos membros:

    $\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(x-5)^2} < \sqrt{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x-5|<3$

(Atenção! $\sqrt{a^2}=|a|,$ para todo $a\in\mathbb{R}.$)

O módulo é menor que 3 para todos os números que estão entre -3 e 3, exclusive. Logo, devemos ter

    $\Longleftrightarrow\quad -3 < x-5 < 3$

Some 5 a todos os membros:

    $\Longleftrightarrow\quad -3+5 < x-\diagup\!\!\!\! 5+\diagup\!\!\!\! 5 < 3+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2 < x < 8\qquad\checkmark$

O conjunto solução são todos os inteiros maiores que 2 e menores que 8:

    $\Longrightarrow\quad S=\{3,\,4,\,5,\,6,\,7\}$

e este conjunto possui 5 (cinco) elementos.

Resposta: alternativa (C) 5.

Bons estudos!