Question

FGV -SP O algarismo da unidade do resultado 1!-2!+3!-4!+5!-...+999! é

Answer 1

$\mathsf{N=1!-2!+3!-4!+5!-...+999!}$

Achar o algarismo da unidade de um número equivale a achar o resto da divisão desse número por 10. De fato, podemos representar qualquer número inteiro como $\mathsf{n=(a_{n}a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})}$, onde $\mathsf{(a_{k})_{k=0}^{n}}$ são os dígitos do número, e a₀ é o dígito das unidades

Sabemos que

$\mathsf{n=a_{n}\cdot10^{n}+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+a_{n-2}\cdot10^{n-2}+...+a_{1}\cdot10+a_{0}}$

Então, como $\mathsf{10^{k}\equiv0\,\,mod\,10\,\,\forall\,\,k\ge1}$,

$\mathsf{n\equiv0+0+\dots+0+a_{0}\,\,mod\,10}\\\\\mathsf{n\equiv a_{0}\,\,mod\,10}$

Como 0 < a₀ < 10, temos que a₀ é o resto da divisão de n por 10.
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Vamos calcular alguns fatoriais:

1! = 1
2! = 2 . 1! = 2
3! = 3 . 2! = 6
4! = 4 . 3! = 24
5! = 5 . 4! = 120

Note que 5! é divisível por 10, logo n! é divisível por 10 para todo n ≥ 5, já que

$\mathsf{6!=6\cdot5!,\,\,7!=7\cdot6\cdot5!,\,\,8!=8\cdot7\cdot6\cdot5!,\,...}$

Equivalentemente, podemos dizer que $\mathsf{n!\equiv0\,\,mod\,10\,\,\,\forall\,\,n\ge5}$

Com isso, apenas 1!, 2!, 3!, 4! influenciarão no algarismo da unidade do número.

Aplicando congruência módulo 10, obtemos

$\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv1!-2!+3!-4!+0+...+0\,\,mod\,10}\\\\\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv1!-2!+3!-4!\,\,mod\,10}\\\\\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv1-2+6-24\,\,mod\,10}\\\\\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv-19\,\,mod\,10}$

Podemos somar qualquer número congruente a 0 módulo 10 na congruência

Temos $\mathsf{20\equiv0\,\,mod\,10}$, então

$\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv-19+20\,\,mod\,10}\\\\\mathsf{1!-2!+3!-4!+5!-...+999!\equiv1\,\,mod\,10}$

Como 0 < 1 < 10, então o resto da divisão de N por 10 é 1, portanto, o algarismo das unidades de N é 1.