Question

(FGV-SP) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1. Qual o valor de k?

Answer 1

Vamos substituir x = k na equação da circunferência :

$\displaystyle \sf (x-2)^2+(y-3)^2= 1 \\\\ (k-2)^2+y^2-6y+9 = 1 \\\\ y^2-6y+ 8 +(k-2)^2= 0$

ja que a reta x = k é tangente, então o delta da equação acima deve ser 0, então :

$\displaystyle \sf y^2-6y+8+(k-2)^2 = 0 \\\\ a = 1 \ , \ b=-6 \ , \ c = 8+(k-2)^2 \\\\ \Delta = 0 \\\\ b^2-4\cdot a \cdot c = 0 \\\\ (-6)^2-4\cdot 1\cdot (8+(k-2)^2) = 0 \\\\ 36 -4\cdot (8+(k-2)^2) = 0 \ \ \div 4 \\\\ 9-8-(k-2)^2 = 0 \\\\ (k-2)^2= 1 \\\\ k -2 = \pm 1 \\\\ k =2\pm 1 \\\\ Portanto\ os \ valores \ k \ podem \ ser : \\\\ \huge\boxed{\sf \ k = 3 \ \ ; \ \ k = 1 \ }\checkmark$