Question

FGV-SP Na equação $1 + \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{(1 + x^{2} })^{2} + ... = 2$ o primeiro membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes da equação é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Answer 1

Resposta:

a)

Explicação passo-a-passo:

a1=1

q=1/(1+x²)

Sn = 1 / [1 - 1/(1+x²)]

Sn = 1 /[1+x²-1]/(1+x²)

Sn=(1+x²)/x²

(1+x²)/x²=2

2x²=1+x²

x²=1

x=±1

soma das raízes OKKKK

soma=-1+1=0

Letra A

Answer 2

A soma das raízes da equação é 0.

Alternativa A.

Explicação:

A soma dos termos uma progressão geométrica (PG) infinita é dada por:

S = a₁  

    1 - q

em que a₁ é o primeiro termo e q é a razão.

O primeiro termo da sequência dada é 1. Logo:

a₁ = 1

A razão de uma PG é obtida dividindo-se um termo pelo seu antecessor.

q = 1/(1 + x²) ÷ 1 = 1/(1 + x²)

q = [1/(1 + x²)]² ÷ 1/(1 + x²) = 1/(1 + x²)

Então, a razão dessa PG é:

q = 1/(1 + x²)

Como a soma é 2, temos:

S = a₁  

    1 - q

2 =       1        

     1 - 1/(1 + x²)

1 -    1     = 1 + x² - 1 =  x²  

   (1 + x²)      1 + x²      1 + x²

Logo:

2 =     1      

          x²  

       1 + x²

2x² = 1

1 + x²

2x² = 1 + x²

2x² - x² = 1

x² = 1

x = ±√1

x = ±1

Então, as raízes dessa equação são 1 e -1.

A soma dessas raízes é: 1 + (-1) = 1 - 1 = 0.

Pratique mais progressão geométrica infinita em:

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