Question

(FGV-SP) Em um triângulo, dois lados medem 5 cm e 6 cm; o ângulo
interno formado por eles vale 60°. Portanto, o perímetro do triângulo (em cm) vale:
a) 11 + √29
b) 11 + √30
c) 11 + √31
d) 11 + √32
e) 11 + √33
A resposta é a C,mas queria saber como chego nesse resultado

Answer 1

Olá!

Como é um triângulo desconhecido, ou seja, não sabemos se é retângulo, isósceles ou escaleno, podemos usar a lei dos cossenos para descobrir esse lado que falta.

$\large \mathrm{ \color{orangered}a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \psi}$

Apresentada a expressão, agora basta calcular

$a^{2} = 5^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 60^{\circ} \\ a^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \frac{1}{2} \\a^2 = 61 - 30 \\ \color{orangered}\boxed{\therefore \: a = \sqrt{31}}$

O perímetro é a soma de todos os lados, logo:

$P = a + b + c \\ \Rightarrow P = 5 + 6 + \sqrt{31} \\ \color{orangered}\boxed{ \therefore \: P = 11 + \sqrt{31}}$