Question

FGV-SP) A única solução da equação sen 2x · sen 3x = cos 2x · cos 3x, com 0° ≤ x < 90°, é

Answer 1

As soluções da equação são

$\Large\text{ \boxed{\boxed{18^\circ ~e~ 54^\circ}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação trigonométrica

Para responder essa questão temos que saber a seguinte relação trigonométrica

• $\boxed{Cos(a+b)=Cos(a)\cdot Cos(b)-Sen(a) \cdot Sen(b)}$

Com isso em mente vamos responder  a questão

Temos a seguinte equação $Sen(2x)\cdot Sen(3x)=Cos(2x)\cdot Cos(3x)$  com

X variando entre $0^\circ\leq x\leq 90^\circ$

Então vamos lá

$Sen(2x)\cdot Sen(3x)=Cos(2x)\cdot Cos(3x)\\\\\\0=Cos(2x)\cdot Cos(3x)-Sen(2x)\cdot Sen(3x)\\\\0=Cos(2x+3x)\\\\\boxed{Cos(5x)=0}$

Agora basta tirarmos os arco cosseno é ver se X cumpre as condições impostas  

$Cos(5x)=0\\\\5x=Arccos(0)\\\\\boxed{5x=90^\circ~ ou~ 5x=270^\circ}$

Lembrando que o X não tem que está entre  $0^\circ\leq x\leq 90^\circ$

Vamos ver para 5x=90

$5x=90^\circ\\\\x=90\div 5\\\\\boxed{x=18^\circ}$

Como 18° está entre 0 e 90 então essa solução valida

$5x=270^\circ\\\\x=270\div 5\\\\\boxed{x=54^\circ}$

Como 54° também  está entre 0 e 90 graus é uma solução valida

Logo existem duas soluções para X em  $0^\circ\leq x\leq 90^\circ$

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