Question

(FGV-SP) A solução da inequação √2 cos² x > cos x no intervalo [0; ∏] é:

(A) 0 ≤ x < ∏/4 ou ∏/2 < x ≤ ∏

(B) 0 < x ≤ ∏/3 ou 2∏/3 ≤ x < ∏

(C) 0 < x < ∏/6 ou 2∏ < x < ∏

(D) ∏/4 < x < 2∏/3

(E) n.r.a.

Resposta: A
*por favor com detalhes, eu consegui chegar até aqui:
2 cos² x > cos x --> 2cos²x - cosx > 0


2cos²x - cosx > 0 ---> cosx(√2cosx -1) > 0

Answer 1

Seguindo o seu método de resolução

$\sqrt{2}\cos^2{x}\ \textgreater \ \cos{x}\\\\\sqrt{2}\cos^2{x}-\cos{x}\ \textgreater \ 0\\\\\cos{x}(\sqrt{2}\cos{x}-1)\ \textgreater \ 0$

Esse produto será positivo se, e somente se, os dois fatores forem positivos ou se os dois fatores forem negativos. Isto é

$\hspace{100}\cos{x}(\sqrt{2}\cos{x}-1)\ \textgreater \ 0\\\\\Leftrightarrow~\left(\cos{x}\ \textgreater \ 0~\wedge~(\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textgreater \ 0)\right)~\lor~\left(\cos{x}\ \textless \ 0~\wedge~(\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textless \ 0)\right)$


Para o caso $\left((\cos{x}\ \textgreater \ 0)~\wedge~(\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textgreater \ 0)\right)$


$\cos{x}\ \textgreater \ 0~\Leftrightarrow~\left(2k\pi\ \leqslant x\ \textless \ \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)\lor\left(\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi+2k\pi\right)\\\\\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textgreater \ 0~\Leftrightarrow~\cos{x}\ \textgreater \ \dfrac{\sqrt{2}}{2}~\Leftrightarrow~\left(2k\pi\ \leqslant x\ \textless \ \dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\lor~\left(\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi+2k\pi\right)$


Como as condições são simultâneas devemos interseccionar esses intervalos, obtendo


$S_{1}=\left\{\left(2k\pi\ \leqslant x\ \textless \ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi\right)~\lor~\left(\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi+2k\pi \right)\right\}$


Para o caso $\left((\cos{x} \ \textless \ 0)~\wedge~(\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textless \ 0)\right)$


$\cos{x}\ \textless \ 0~\Leftrightarrow~\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)\\\\\sqrt{2}\cos{x}-1\ \textless \ 0~\Leftrightarrow~\cos{x}\ \textless \ \dfrac{\sqrt{2}}{2}~\Leftrightarrow~\left(\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ \dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\right)$


Como as condições são simultâneas, devemos interseccionar os intervalos, obtendo


$S_{2}=\left\{\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)\right\}$


A solução geral para a questão é a união de S₁ com S₂, isto é S = S₁ ∪ S₂.


$S=\left\{\begin{matrix} \left\{ 2k\pi\ \leqslant x\ \textless \ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi\right\}\\\\\lor\\\\\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right\}\\\\\lor\\\\\left\{\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi+2k\pi\right\} \end{matrix}\right.$


Essa é a solução geral, mas o exercício pede a solução no intervalo [0, π]. 


Baseado nos intervalos acima: 


$S=\left\{x\in\mathbb{R}: 0 \leqslant x \ \textless \ \dfrac{\pi}{4}~\lor~\dfrac{\pi}{2} \ \textless \ x \leqslant \pi\right\}$