Question

(FGV) seja r o conjunto dos números reais . o conjunto solução da inequação x-3/x-2 maio igual x-1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte inequação no âmbito dos Reais:

(x-3)/(x-2) ≥ (x-1) ------ vamos passar "x-1" para o 1º membro da desigualdade, ficando assim:

(x-3)/(x-2) - (x-1) ≥ 0 ----- mmc = (x-2). Assim, utilizando-o no 1º membro da desigualdade, teremos:

[1*(x-3) - (x-2)*(x-1)]/(x-2) ≥ 0 ---- desenvolvendo, teremos:
[(x-3) - (x²-3x+2)]/(x-2) ≥ 0 ---- retirando-se os parênteses do numerador, temos:

[x-3 - x²+3x-2]/(x-2) ≥ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

[4x - x² - 5]/(x-2) ≥ 0 ---- ordenando o numerador, teremos:
(-x² + 4x - 5)/(x-2) ≥ 0

Agora veja: ficamos com uma inequação-quociente constituída de duas funções, sendo uma do 2º grau no numerador e outra do 1º grau no denominador, e cujo resultado terá que ser MAIOR ou IGUAL a zero.
Temos f(x) = -x²+4x-5 e temos g(x) = x-2.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, daremos o conjunto-solução (domínio) da inequação original.
Assim:

f(x) = -x²+4x-5 ---> raízes: -x²+4x-5 = 0 ---- note: esta equação tem o seu delta (b²-4ac) menor do que zero, significando dizer que ela não terá raízes reais, mas apenas raízes complexas.
Quando isso ocorre, "corremos" para verificar qual é o sinal do termo "a" da função (o termo "a" é o coeficiente de x²). Como o termo "a" da função do numerador é negativo, isto significa que a função f(x) será SEMPRE negativa para todo e qualquer valor real de "x". Evidentemente que se o termo "a" fosse positivo a função f(x) seria sempre positiva para todo valor real de "x". Mas, como afirmamos antes, o termo "a" é negativo e, assim, a função f(x) será SEMPRE negativa para todo e qualquer valor real de "x".

g(x) = x - 2 ---> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2 .

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das funções para, no fim, dar o conjunto-solução (domínio) de: (-x²+4x-5)/(x-2) ≥ 0.
Assim, teremos:

a) f(x) = -x²+4x-5.. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x - 2 .....- - - - - - - - - - - - - - - - - (2)+ + + + + + + + + + + + + + +
c) a / b . . . . . . . .+ + + + + + + + + + + + +(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo que nos dá o conjunto-solução (domínio) será este:

x < 2 --------- Esta é a resposta.

Aí você poderá perguntar: mas na inequação original não há o sinal de " ≥ ", então por que é que o domínio não seria x ≤ 2 ?
Resposta: porque o "2" é raiz do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser igual a "2" estaríamos admitindo uma divisão por zero e isso não existe. Só por isso é que o "x" não poderá ser menor ou igual a "2", mas apenas menor do que "2". E sendo assim, o conjunto-solução (domínio) da função é o intervalo aberto que demos acima, ou seja: x < 2 .

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < 2}

Ou, também se quiser, o conjunto-solução (domínio) poderá ser expresso do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-∞; 2).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.