Question

(FGV) Determine o valor de W = 1/r² + 1/s², sendo r e s as raízes da equação ax² + bx + c = 0; a ≠ 0; c ≠ 0.

Gabarito: (b² - 2ac)/c²

Ajudem, por favor.

Answer 1

Olá.

A soma e o produto das raízes são:

$r+s=-\frac { b }{ a } \\ \\ r*s=\frac { c }{ a }$

Temos aqui duas equações, irei elevar a primeira ao quadrado:

$(r+s)^{ 2 }=(-\frac { b }{ a } )^{ 2 }\\ \\ r^{ 2 }+2rs+s^{ 2 }=\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } }$

Como r*s=c/a

Irei substituir:

$r^{ 2 }+2(\frac { c }{ a } )+s^{ 2 }=\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } } \\ \\ r^{ 2 }+s^{ 2 }=\frac { b^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -2*\frac { c }{ a } \\ \\ r^{ 2 }+s^{ 2 }=\frac { b^{ 2 }-2ac }{ a^{ 2 } }$


Agora vamos direto ao que se pede no exercício:

$W=\frac { 1 }{ r^{ 2 } } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } }$

Tirando o MMC:

$W=\frac { s^{ 2 }+r^{ 2 } }{ r^{ 2 }*s^{ 2 } }$

Como já sabemos o valor de r²+s² basta substituir:

$W=\frac { \frac { b^{ 2 }-2ac }{ a^{ 2 } } }{ \frac { c^{ 2 } }{ a^{ 2 } } } \\ \\ \Huge \boxed{W=\frac { b^{ 2 }-2ac }{ c^{ 2 } } }}$