Question

(FGV) Considere a reta r, de equação y = 2x + 3, e a circunferência de equação

x2 + y2 = 10. A reta s, perpendicular à reta r, tangencia a circunferência no ponto P. Esse ponto pode ser

Answer 1

Oi!

Respondendo a pergunta digitada e desprezando a imagem, que não apresenta nenhuma relação com o enunciado, temos a seguinte linha de raciocínio:

--> levando em consideração que o coeficiente da reta s é -1/2, temos que

s: y = (-1/2)*x + B  

--> temos que encontrar um valor de B para que a reta s seja tangente à circunferência x² + y² = 10:

--> fazendo o desenho, observe que existem 2 valores de B possíveis, já que existem duas retas tangetes à cicunferência que são perpendiculares à reta r.

--> devemos substituir o valor de y na equação da circunferência:

x² + y² = 10  

x² + ((-1/2)*x + B)² = 10  

x² + (1/4)*x² - x*B + B² = 10  

(5/4)*x² - x*B + (B²-10) = 0  

Assim:  

a = 5/4  

b = -B  

c = (B²-10)  

--> forçando que

b² - 4ac = 0  

B² - 4*(5/4)*(B²-10) = 0  

B² - 5*(B²-10) = 0  

B² - 5*(B²-10) = 0  

B² - 5*B² + 50 = 0  

B² = 50/4  

B = ±√(50/4)

B= ±(5/2)*√2  

--> Se B= -(5/2)*√2:  

x = -b/2a = B/(2*5/4) = -√2  

s: y = (-1/2)*x - (5/2)*√2  

y = (1/2)*√2 - (5/2)*√2  

y = -2*√2  

Assim, o ponto seria P(-√2,-2*√2)