Question

FGV) Considere a reta r, de equação y = 2x + 3, e a circunferência de equação

x2 + y2 = 10. A reta s, perpendicular à reta r, tangencia a circunferência no ponto P. Esse ponto pode ser?

Answer 1

Olá,

Se ''s'' é perpendicular a ''r'', logo a.b=-1, sendo ''a'' o coeficiente angular de "s" e "b" o coeficiente angular de "r".

Logo:

a.2=-1

a=-1/2

Sabemos que se derivarmos uma função, encontraremos a fórmula que nos dá o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto.

Derivando a função da circunferência teremos:

$x^{2}+y^{2}=10\\ y=+-\sqrt{10-x^{2}} \\ \\ y'=+-\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}} }$

Sabemos que o coeficiente da reta S é -1/2. Substituindo ese valor no lugar de y teremos:

$y=\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}} }\\ \\ \frac{-1}{2} =\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}} }\\ \\ -\sqrt{10-x^{2}} = 2x \\ \\ 4x^{2}=10-x^{2}\\ \\ x=+-\sqrt{2}$

Substituindo esse valor na equação da circunferência teremos:

$\sqrt{2}^{2}+y^{2}=10 \\ \\ y=+-\sqrt{8}$

Logo os pontos serão:

$(\sqrt{2}, \sqrt{8}) \\ \\ (-\sqrt{2}, -\sqrt{8})$