Question

(FGV - 2017) - Seja f uma função real tal que f(x-1/x) = x-1, para todo x real nao nulo

Sendo 0<téta< π/2, o valor de f(sen^2 Téta) é ??

Gabarito: tg^2 téta

Estou tentando usar o artifício de igualar:

x-1/x = k

e isolar o x, e reaplicar na função mas não ta saindo.

Answer 1

As alternativas são:

a) sen²θ

b) cos²θ

c) tg²θ

d) sec²θ

e) cossec²θ

Solução

Como temos $f(\frac{x-1}{x})=x-1$ e f(sen²θ), então podemos dizer que:

$\frac{x-1}{x} = sen^2\theta$.

Assim,

x.sen²θ = x - 1

x - x.sen²θ = 1

Perceba que podemos colocar o x em evidência:

x(1 - sen²θ) = 1

A relação fundamental da trigonometria diz que sen²θ + cos²θ = 1. Logo, podemos dizer que:

x.cos²θ = 1

$x=\frac{1}{cos^2\theta}$.

Daí, temos que:

$f(sen^2\theta)=\frac{1}{cos^2\theta}-1$

$f(sen^2\theta)=\frac{1-cos^2\theta}{cos^2\theta}$

Utilizando, novamente, a relação fundamental da trigonometria:

$f(sen^2\theta)=\frac{sen^2\theta}{cos^2\theta}$

Ou seja,

f(sen²θ) = tg²θ

Portanto, a alternativa correta é a letra c).