Question

(Fgv 2007) Considere as frações 1/n 1/p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma 1/n + 1/p afirma-se que pode ser:

Answer 1

Olá.

Por ser uma questão da FGV, foi fácil encontrar o enunciado completo, que adiciono abaixo:

"Considere as frações $\mathsf{\dfrac{1}{n}~e~\dfrac{1}{p}}$,com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma afirma-se que pode ser:

  I. inteiro não nulo;

  II. racional não inteiro;

  III. irracional;

  IV. zero;

  V. imaginário puro.

É correto apenas o que está contido em

A) I e II.

B) II e IV.

C) I, II e III.

  D) I, II, III e IV.

E) II, III, IV e V.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

Os números irracionais compreendem as dízimas não periódicas, como as raízes.

Basicamente, o enunciado afirmar que podem existir diversos tipos de números. Para comprovar as alternativas,basta encontrar um exemplo que concorde. Vamos por partes.

I – Inteiro não nulo.

É conveniente que p e q sejam frações com as raízes (sinais inversos em cada fração) no denominador (acompanhados de algum número) e 1 no numerador, pois assim é possível “cancelar” alguns valores e nos mantermos apenas com os denominadores.

Vamos aos cálculos, usando raiz de 5, para que fique mais claro.

$\mathsf{n=\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}~~~\therefore~~~p=\dfrac{1}{6-\sqrt{5}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{6-\sqrt{5}}}}$

Sempre resolvemos expressões algébricas na forma de leitura, da esquerda para a direita, ou “de cima para baixo” na forma que essa fração está montada. Sendo assim, teremos:

$\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{6-\sqrt{5}}}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!1}{\dfrac{\diagup\!\!\!\!1}{3+\sqrt{5}}}+\dfrac{\diagup\!\!\!\!1}{\dfrac{\diagup\!\!\!\!1}{6-\sqrt{5}}}=}\\\\\\\mathsf{3+\sqrt{5}+6-\sqrt{5}=}\\\\ \mathsf{3+\sqrt{5}+6-\sqrt{5}=}\\\\\mathsf{3+6+\sqrt{5}-\sqrt{5}=}\\\\ \mathsf{3+6=9}$

Com o que foi demonstrado,podemos afirmar que a assertiva I é verdadeira. 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

II – racional não inteiro.

Números racionais são aqueles que podem ser expressões em forma de fração, sejam os resultados dízimas periódicas ou números decimais.

Para encontrar valores que satisfaça esse caso, podemos fazer semelhante ao que foi feito na assertiva anterior, mas dessa vez com numeradores iguais e diferentes de 0. Usarei raiz de 5. Teremos:

$\mathsf{n=\dfrac{5}{3+\sqrt{5}}~~~\therefore~~~p=\dfrac{5}{6-\sqrt{5}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\left(\dfrac{5}{3+\sqrt{5}}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{5}{6-\sqrt{5}}\right)}=}\\\\\\\mathsf{1\div\dfrac{5}{3+\sqrt{5}}+1\div\dfrac{5}{6-\sqrt{5}}=}\\\\\\\mathsf{1\cdot\dfrac{3+\sqrt{5}}{5}+1\cdot\dfrac{6-\sqrt5}{5}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt{5}}{5}+\dfrac{6-\sqrt5}{5}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{3+\sqrt{5}+6-\sqrt5}{5}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+6+\sqrt{5}-\sqrt5}{5}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{9}{5}=1,8}$

Com o que foi demonstrado,podemos afirmar que a assertiva II é verdadeira.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

III – Irracional. 

Não é necessário provar esse caso, pois n e p tem de ser irracionais. Apenas de igualar n e p à alguma raiz já se tem um número irracional. Logo, podemos afirmar que essa assertiva é verdadeira. 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

IV – Zero.

Nesse caso, basta seguirmos o modelo da primeiro caso (número inteiro não nulo), só que dessa vez deixando os numeradores sem complementos. Como exemplo, teremos:

$\mathsf{n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}~~~\therefore~~~p=\dfrac{1}{-\sqrt{5}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt5}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{-\sqrt5}}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{5}-\sqrt{5}=0}$

Com o que foi demonstrado,podemos afirmar que a assertiva IV é verdadeira.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

V – Imaginário puro.

Nesse caso, podemos afirmar que essa assertiva é incorreta levando em consideração conceitos dos conjuntos numéricos.

Um número imaginário/complexo puro é aquele que tem apenas a parte imaginária (i). No caso desse enunciado,não é possível acontecer pois estamos fazendo uma soma entre números irracionais e não números complexos.

Para que satisfizesse essa assertiva, a raiz deveria ser negativa (o que não tem como se fazer a partir de operações de soma com números irracionais). 

Com base no que foi falado,podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa D, as assertivas verdadeiras são I, II, III, IV.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$