Question

(FGV-1988) A equação 4^x + 6^x = 2.9^x tem como solução conjunto:
a. {1}
b. {2}
c. {3}
d. {0}
e. {nda}
GABARITO: D

Answer 1

Vamos lá.

4^x+6^x = 2.9^x

2^(2x)+3^x.2^x =2.3^(2x)
divide tudo por  3^(2x)
2^(2x)/3^(2x)+2^x/3^x=2
(2/3)^(2x) + (2/3)^x=2
temos (2/3)^x = y 
portanto
y² + y = 2
y=1
y=-2
A segunda não convém com a primeira.
(2/3)^x = 1
x = 0

Resposta: Solução final é ( 0 ), portanto letra d.

Bons estudos

Answer 2

Com o estudo sobre equação exponencial, a equação tem como solução o conjunto da alternativa d){0}

Equação exponencial

Temos a seguinte equação exponencial $4^x+6^x=2.9^x$, daí podemos reescrever cada termos da seguinte forma:

• $\begin{cases}6^x=\left(2.3\right)^x=2^x\cdot 3^x&\\ 9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2&\\ 4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x^{ }\right)^2&\end{cases}\Rightarrow 2^{2x}+2^x.3^x-2.3^{2x}=0$

Observação: A resolução de uma equação exponencial é baseada em uma das propriedades da função exponencial que afirma o seguinte "Sendo a um número real positivo(a>0) e diferente de 1, temos:

• $a^x=a^y\Leftrightarrow x=y$

Agora podemos dividir tudo por $3^{2x}$, teremos:

• $\:\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}}+\dfrac{2^x.3^x}{3^{2x}}-\dfrac{2.3^{2x}}{3^{2x}}=0$

Ficaremos com:

• $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^x-2=0$

Fazendo uma mudança de variável $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=y$, temos:

• $y=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\Rightarrow y^2\:+\:y\:-\:2\:=\:0$

Resolvendo a equação do 2° grau na incógnita y:

• $y_{1,\:2}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot \:1\cdot \left(-2\right)}}{2\cdot \:1}$

• $y_{1,\:2}=\dfrac{-1\pm \:3}{2\cdot \:1}$

Separando as duas soluções, teremos

• $y=\dfrac{-1+3}{2\cdot \:1},\:y_2=\dfrac{-1-3}{2\cdot \:1}$

Daí

• $y=1,\:y=-2$

Retornado a variável original x, temos:

• $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\:1$, temos que x = 0;

• $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\:-2$, não existe x, pois toda potência de base positiva é um número positivo

Logo, o conjunto solução da equação é:

• $S=\left\{0\right\}$

Saiba mais sobre equação exponencial:https://brainly.com.br/tarefa/159546

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