Question

Felipinho e demais,

Vamos jogar um jogo ;).

Identifique as conicas em $\mathbb{R}^2$.

1-

$xy+x+y=0$

2-

$4xy+3y^2+2\sqrt{5}x+4\sqrt{5}y=0$


PS: Ti virem, eu não sei quais são as figuras, só vou tentar fazer se alguém responder ;P...

Answer 1

Depois de quatro páginas de cálculos (com letras, gosto de sofrer matematicamente) encontrei algo relativamente interessante. Seja a equação

$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$, com $C\neq0$.

Fazendo $x=x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta$ e $y=x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta$, onde $x'$ e $y'$ são as novas coordenadas do plano após rotacioná-lo de $\theta$ en torno da origem, temos que

$\boxed{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1-\frac{A-B}{\sqrt{(A-B)^2+C^2}}\right)}}$

e

$\boxed{\cos\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{A-B}{\sqrt{(A-B)^2+C^2}}\right)}}$

para que o termo em $x'y'$, após a rotação, seja 0.

1- Temos que $A=B=F=0$ e que $C=D=E=1$, daí:

$\cos\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{0-0}{\sqrt{(0-0)^2+1^2}}\right)}\\ \\ \cos\theta=\sqrt{\frac12}\Rightarrow \boxed{\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}}$

Daí $\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{\sqrt2}{2}$,

$xy=(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)\\ \\ xy=\frac12(x'-y')(x'+y')\\ \\ xy=\frac12((x')^2-(y')^2)$

e a equação após a rotação fica:

$\frac12((x')^2-(y')^2)+\frac{\sqrt2}{2}(x'-y')+\frac{\sqrt2}{2}(x'+y')=0\\ \\ (x')^2-(y')^2+2\sqrt2.x'=0\\ \\ (x')^2+2\sqrt2.x'+2-(y')^2=2\\ \\ \boxed{\frac{(x'+\sqrt2)^2}{2}-\frac{(y')^2}{2}=1}$

O que é uma hipérbole.
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2- Nessa temos $A=F=0$, $B=3$, $C=4$, $D=2\sqrt5$ e $E=4\sqrt5$, daí:

$\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1-\frac{0-3}{\sqrt{(0-3)^2+4^2}}\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{3}{\sqrt{9+16}}\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac35\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{2}{\sqrt5}$

e $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}$. Substituindo tudo o que temos encontramos:

$y^2=(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)^2\\ \\ y^2=(x')^2.\frac45+2.\frac25.x'y'+(y')^2.\frac15\\ \\ y^2=(x')^2.\frac45+x'y'.\frac45+(y')^2.\frac15$

$xy=(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)\\ \\ xy=(x')^2.\frac25+x'y'\left(\frac15-\frac45\right)-(y')^2.\frac25\\ \\ xy=(x')^2.\frac25-x'y'.\frac35-(y')^2.\frac25$

$12(x')^2.\frac15+3(y')^2.\frac15+8(x')^2.\frac15-8(y')^2.\frac15+2\sqrt5(x+2y)=0\\ \\ 4(x')^2-(y')^2+2(x'-2y'+2(2x'+y'))=0\\ \\ 4(x')^2-(y')^2+10x'=0\\ \\ (2x')^2+2.2x'.\frac52+\frac{25}{4}-(y')^2=\frac{25}{4}\\ \\ \left(2x'+\frac52\right)^2-(y')^2=\frac{25}{4}\\ \\ 4\left(x'+\frac54\right)^2-(y')^2=\frac{25}{4}$

$\boxed{\frac{\left(x'+\frac54\right)^2}{25/16}-\frac{(y')^2}{25/4}=1}$

Olha, temos outra hipérbole também :D