Felipe está participando da olímpiada interna de Matemática de sua escola. Em uma determinada tarefa, o professor instrui aos alunos que, dentro de uma urna, existem diversos cartões, e que em cada cartão está escrito um divisor do número 17 640, de maneira que todos os divisores desse número se encontram na urna, em cartões distintos. Logo, há tantos cartões quanto os divisores de 17 640.O professor irá selecionar aleatoriamente um número da urna, e o desafio dado a Felipe é que ele calcule a probabilidade de tal número ser par ou não ser múltiplo de 7. Felipe, que acertou o desafio, disse que a probabilidade é dea)1/6b)5/6c)3/8d)1/4e)1/16
Soluções para a tarefa
Temos que calcular a quantidade de divisores do número 17.640 e quais são eles.
QUANTIDADE DE DIVISORES DE 17640
Decompomos em fatores primos, depois somamos uma unidade a cada um dos expoentes do fatores primos. Por fim, multiplicamos os valores encontrados.
17.640 / 2
8.820 / 2
4410 / 2
2205 / 3
735 / 3
245 / 5
49 / 7
7 / 7
1
17640 = 2³.3².5¹.7²
somando um (1) a cada um dos expoentes dos fatores...
(3 + 1), (2 + 1), (1 + 1) e (2 + 1)
multiplicando os resultados...
(3 + 1).(2 + 1).(1 + 1).(2 + 1) =
4.3.2.3 = 72
Portanto, 17640 tem 72 divisores.
Agora, temos que achar a quantidade de divisores que não são o 7.
Fazemos da mesma forma, mas não contamos com o expoente do 7 no mmc.
Fica: 2³.3².5¹
somando um (1) a cada um dos expoentes dos fatores...
(3 + 1), (2 + 1) e (1 + 1)
multiplicando os resultados...
(3 + 1).(2 + 1).(1 + 1) =
4.3.2 = 24
24 números não são divisores de 7.
Dentre esses 24 números, temos que diferenciar os pares dos ímpares.
Para achar os divisores ímpares, não contamos com o expoente do 2. Assim, temos: 3². 5¹
somando um (1) a cada um dos expoentes dos fatores...
(2 + 1) e (1 + 1)
multiplicando os resultados...
(2 + 1).(1 + 1) =
3.2 = 6
6 são ímpares.
Logo, sobram 18 pares (é a intersecção entre ser par e não ser múltiplo de 7).
Agora, calculamos quanto do total de divisores são pares.
Para achar os divisores ímpares, não contamos com o expoente do 2. Assim, temos: 3². 5¹.7²
(2 + 1).(1 + 1).(1 + 2) =
3.2.3 = 18
18 são ímpares. Tirando 18 de 72 (72 # 18), sobram 54 pares.
Por fim, calculamos a probabilidade:
P(par) + P(não multiplo de 7) - P(par e não multiplo de 7) / total de divisores =
54/72 + 24/72 - 18/72 =
60/72
Simplificando...
60/72 = 5/6
Resposta: 5/6
Fazendo o mmc de 17640, fica 2³.3².5¹.7². A fórmula para achar os divisores é somar o expoente de cada número com 1, assim fica: (3+1).(2+1).(1+1).(1+2)=72 divisores. Agora temos que achar a quantidade de divisores que não são o 7, ai é só fazer a mesma coisa só que não contar com o expoente do 7 achado no mmc, vai ficar: 2³.3².5¹,ou seja, (3+1).(2+1)(1+1)=24 números que não são divisores de 7.
Dentre esses 24 números, temos q diferenciar os pares dos ímpares, fazendo a msm regra p achar os divisores mas dessa ez não contando com o expoente do 2(desse modo vamos achar os divisores ímpares) ai fica: 3².5, ou seja, .(2+1)(1+1)= 6 divisores ímpares dentre os que não são multiplos de 7, então teres 24-6=18 números pares( ESSA VAI SER A INTERSECÇÃO ENTRE SER PAR E NÃO SER MÚLTIPLO DE 7, QUE DEVEREMOS DIMINUIR NO FINAL DE TUDO).
Agora precisamos achar do total de divisores, quantos serão pares, utilizando a mesma ideia da fórmula de divisores, os ímpares seriam todos menos o expoente que ta acompanhando o 2 (3².5¹.7²), ou seja, .(2+1).(1+1).(1+2)= 18 são ímpares, como o total é 72, fazendo 72-18 se acha os divisores pares, que serão 54. Agora só usar a formula da probabilidade: P(par)+P(ñmultiplode7)-P(par e ñmultiplode7)=54/72+24/72-18/72=60/72 simplificando por 12 da 5/6.