Question

(FEI) Um número M de três dígitos tem as seguintes características: I. M é igual a 40 vezes a soma de seus dígitos. II. Se a disposição do algarismo das unidades e do algarismo das centenas for invertida, o novo número é igual a M menos 99. III. O dígito das dezenas do número M é o dobro da soma dos outros dois dígitos. O produto dos dígitos de M é igual a:

Answer 1

Olá, vamos a analisar as caracteristicas dadas para determinar o  produto dos dígitos de M. Então sabendo que:

 
1- M é compuesto por três algarismos inteiros, que podem ser chamados a,b,c:
   
$M = abc$               equação I


2- M é igual a  40 vezes a soma de seus algarismos inteiros:

$M = 40 * (a + b + c)$            equação II

3- Se a disposição do algarismo é alterado, das centenas com o das unidades, o novo número é 99 menor que M. Temos:

$cba = abc - 99$                equação III

4- O dígito das dezenas do número M é o dobro da soma dos outros dois dígitos.

$b = 2 (a + c)$                equação IV

Então com issa informação, temos equações que podemos relacionar ou igualar, temos que:

Da equação III: 

$cba = abc - 99$ 

$abc - cba = 99$

Como obtemos um resultado positivo, podemos afirmar que:

 $a \ \textgreater \ c$ assim,  $c = a - 1$

Da equação IV:

$b = 2 (a + c)$   temos

$b = 2a + 2c$

$2c = 2a - b$

$c = \frac{2a-b}{2}$

Assim com o valor achado de c, substituimos:

$a-1 = \frac{2a - b}{c}$

$2 (a-1) = 2a - b$

$2a - 2 = 2a - b$

$-2 = -b$ multiplica por  (-1) a equação

$2 = b$

Agora com essa relação podese pode descobrir o valor de a em relação a 

$b = 2$,                substituindo o valor de c, temos

$b = 2(a+c)$

$2 = 2 (a + (a-1))$

$2 = 2(2a-1)$

$2 = 4a - 2$

$2+2 = 4a$

$4 = 4a$

$a = \frac{4}{4} = 1$

Sabendo que $c = a - 1$ substituimos o valor achado de a:

$c = 1 - 1 = 0$

Assim com os valores de:

$a = 1 b = 2 c = 0$

Assim pode-se calcular o produto dos dígitos de M:

$M = a*b*c$

$M = 1*2*0 = 0$

O produto dos digitos de M é igual a 0.

Se você deseja, pode substituir todos os valores achados em cada uma das equações planteadas pelas caracteristicas, e assim verificar que os digitos de M são corretos.

Answer 2

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Natimuller}}$

Vamos por etapas ! A questão fala que o número P tem 3 digitos , e como não sabemos quais são , vamos chamar de ''X , Y e Z '' Ok ?

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I. $P=40*(X+Y+Z)$

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II.  Relembrando a ordem dos números :

Centenas , dezenas , unidade  = X , Y , Z

A questão nos fala que o algarismo das unidades e do algarismo das centenas foi invertido e gerou um novo número , logo temos que :

$ZYX = XYZ - 99$

$99 = XYZ - ZYX$

Note que a equação de cima nos dá um número positivo , por isso podemos afirmar que X > Z , Logo , Z = X - 1

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III. Y = 2 * (X + Z) , Veja que aqui já podemos resolver esta simples equação:

$Y= 2*(X+Z)\\ \\ \\ Y = 2X + 2Z\\ \\ \\ -2Z(-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2Z=2X-Y\\ \\ \\ \boxed{{Z=\dfrac{2X-Y}{2} }}$

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Obs : Quando passei o Z negativo , multipliquei por (-1) pra ele não ficar negativo e ir terminar em Báskara , por isso fiz assim ...

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Agora , note que no módulo II , afirmamos que o Z=X-1 , já que o resultado (99) era um número natural positivo , neste caso iremos substituir na fórmula acima para acharmos o valor do Y .

$Z=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ X-1=\dfrac{2X-Y}{2}\\ \\ \\ 2*(X-1)=2X-Y\\ \\ \\ 2X-2=2X-Y\\ \\ \\ Note~que~podemos~simplificar~os~dois~''x''\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\!2X-2=\diagup\!\!\!\!2X-Y\\ \\ \\ -2=-Y\\ \\ \\ \boxed{{y=2}}$

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Achamos o valor do Y , agora vamos encontrar o valor do X usando a equação do módulo III onde Y=2 e Z = X-1 .

$Y=2*(X+Z)\\ \\ \\ 2=2*(X+(X-1))\\ \\ \\ 2\div1=X+(X+1)\\ \\ \\ 1=X+X-1\\ \\ \\ 1+1=2X\\ \\ \\ 2=2X\\ \\ \\ 2\div2=X\\ \\ \\ \boxed{{1=X}}$

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Agora relembrando ainda no módulo III que Z= X-1 , temos :

$Z=X-1\\ \\ \\ Z=1-1\\ \\ \\ \boxed{{Z=0}}$

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Prontinho , achamos os valores dos 3 digitos que são :

$\begin{bmatrix}X=1\\\\Y=2\\\\Z=0\end{bmatrix}$

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Agora vamos tirar a prova real , para saber se os números estão corretos :

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I.$P=40*(X+Y+Z)$

$P=40*(1+2+0)\\ \\ \\ P=40*3\\ \\ \\ \boxed{{P=120}}~~~~CORRETO$

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II. $ZYX = XYZ - 99$

$021=120-99\\ \\ \\ \boxed{{021=21}}~~~~CORRETO$

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III. $Y = 2 * (X + Z)$

$2=2*(1+0)\\ \\ \\ 2=2*1\\ \\ \\ \boxed{{2=2}}~~~~~CORRETO$

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Agora a questão quer saber o valor do produto dos 3 dígitos .

$X*Y*Z = \\ \\ \\ 1*2*0=\\ \\ \\ 2*0=\\ \\ \\ \boxed{{=0}}$

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Portanto o valor do produto dos 3 digitos de M , é igual a 0 (zero).

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Espero ter ajudado!