Question

(FEI-SP) Sabendo que 0<X<pi e que (senx+cosx)²+cosx= sen 2x, pode-se afirmar que X é igual a:

a) pi/2
b) pi/3
c) pi/4
d) 2pi/3
e) pi

Answer 1

Temos que $0 \leq x \leq \pi$, isso quer dizer que o x está entre 0° e 180°.

( sen x + cosx )² + cox = sen 2x

O sen de 2x trata-se de um arco duplo, logo, podemos usar a relação do arco duplo do sen.

sen 2x = 2 senx . cos x

Podemos substituir no lugar do sen 2x,

( sen x + cos x )² + cos x = 2 sen x . cos x

O ( sen x + cos x )² é um produto notável da soma do quadrado de dois termos. Sabemos que a soma do quadrado de dois termos é dado pela seguinte relação.

( a + b )² = a² + 2ab + b²

No lugar de a substituímos por sen x, e no lugar de b substituímos por cos x. Logo, teremos:

( sen² x + cos² x + 2 sen x . cos x ) + cos x = 2 sen x . cos x

Sabemos que sen² x + cos² x = 1.

1 + 2 sen x . cos x + cos x = 2 sen x . cos x ( mudando de membro o 2 sen x . cos x )

1 + cos x = 0

cos x = - 1

Para o cos x ser igual a -1, o x deverá ser 180°. Nas alternativas, temos as respostas em radiano. Portanto,

cos x = π 

Alternativa e )