(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r, e a reta t é paralela à reta s. Determine a equação da reta s e a equação da reta t
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Moonlight,que a resolução parece simples. Só é um pouco trabalhosa. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Dada a figura anexada por foto, tem-se as seguintes informações: a reta "s" é perpendicular à reta "r"; e a reta "t" é paralela à reta "s". Dadas essas informações são pedidas as equações da reta "s" e da reta "t".
ii) Veja: primeiro vamos encontrar qual é a equação reduzida da reta "r", pois é a única que está passando em dois pontos conhecidos. Ou seja ela está passando nos pontos Q(4; 0) e P(0; 3). Primeiro vamos encontrar qual é o coeficiente angular (mr) da reta "r". Veja que o coeficiente angular (m) de uma reta que passe nos pontos (x₀; y₀) e (x₁; y₁) tem o seu coeficiente angular (m) encontrado assim:
m = (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀) ---- Assim, tendo esta relação como parâmetro, então vamos calcular o coeficiente angular da reta "r" (mr), que passa nos pontos P(0; 3) e Q(4; 0). Assim, teremos:
mr = (0-3)/(4-0) ----> mr = (-3)/(4) ---->mr = -3/4 <--- Este é o coeficiente angular da reta "r".
Agora veja que: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀) a sua equação é encontrada assim:
y - y₀ = m*(x - x₀) ---- Assim, tendo esta relação como parâmetro, então a reta "r", que tem coeficiente angular igual a "-3/4" (mr = -3/4) e que passa nos pontos P(0; 3) e Q(4; 0), então basta escolher um dos pontos dados e aplicar na fórmula acima. Vamos escolher o ponto P(0; 3). Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, teremos:
y - 3 = (-3/4)*(x - 0) ---- note que isto é equivalente a:
y - 3 = -3*(x - 0)/4 --- multiplicando-se em cruz, ficaremos com:
4*(y - 3) = -3*(x - 0) ---- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, temos:
4y - 12 = -3x + 0 ----- ou apenas:
4y - 12 = - 3x ----- passando "-3x" para o 1º membro, teremos:
4y - 12 + 3x = 0 ---- ordenando, ficaremos:
3x + 4y - 12 = 0 <--- Esta é a equação gerla da reta "r". Mas apenas se você quisese encontrá-la, pois a questão não pede esta equação. Só pede das retas "s' e "t".
iii) Agora vamos encontrar a equação da reta "s". Já vimos que a reta "s" é perpendicular à reta "r". Se a reta "s" é perpendicular a reta "r", então o coeficiente angular da reta "s" (ms) vezes o coeficiente angular da reta "r" (mr) deverá ser igual a "-1". E já vimos também que o coeficiente angular da reta "r" (mr) é igual a "-3/4". Então efetuar a multiplicação de "ms" vezes "mr" e igualar a "-1":
ms*mr = -1 ---- substituindo-se "mr" por "-3/4", teremos:
ms*(-3/4) = -1 ----- desenvolvendo, teremos:
-3ms/4 = -1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
-3ms = 4*(-1) ---- ou apenas:
-3ms = -4 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3ms = 4 --- isolando "ms", teremos;
ms = 4/3 <--- Este é o coeficiente angular da reta "s".
iv) Agora vamos encontrar qual é a equação da reta "s". Para isso, como já vimos que a reta "s" passa no ponto Q(4; 0) , então é só aplicar a fórmula de quando já se dispõe do coeficiente angular e um dos pontos por onde a reta passa. Assim, como a reta "s'' passa no ponto Q(4; 0) e tem coeficiente angular igual a "4/3" (ms = 4/3), teremos:
y - 0 = (4/3)*(x - 4) ----- veja que isto é equivalente a:
y = 4*(x - 4)/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
3*y = 4x - 16 ---- continuando, temos:
3y = 4x - 16 ---- passando "3y" para o 2º membro, temos:
4x - 3y - 16 = 0 <--- Esta é a equação geral da reta "s".
v) Finalmente, agora vamos para a equação geral da reta "t". Note que a reta "t" é perpendicular à reta "s". Então ela terá o mesmo coeficiente angular da reta "s". Como o coeficiente angular da reta "s' é ms = 4/3; então o coeficiente angular da reta "t" será também igual a 4/3, ou seja: mt = 4/3. E, como a reta "t" passa no ponto M(1; 0), então é só aplicar a fórmula de quando já se conhece o coeficiente angular e um ponto por ela passa. Assim, teremos para a reta "t":
y - 0 = (4/3)*(x - 1) --- note que isto é equivalente a:
y = 4*(x - 1)/3 ---- multiplicando-se em cruz,t eremos:
3*y = 4*(x-1) --- efetuando os produtos indicados, teremos:
3y = 4x - 4 ----- passando "3y" para o 2º membro, teremos:
4x - 3y - 4 = 0 <--- Esta é a equação geral da reta "t".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Podemos dizer que a equação da reta s e a equação da reta t é igual a: 4x - 3y - 16 = 0 e 4x - 3y - 4 = 0, respectivamente.
- Para resolver esse tipo de questão, deveremos observar as seguintes considerações, veja:
- primeiro vamos encontrar a equação reduzida da reta "r", que está passando por dois pontos conhecidos: Q(4; 0) e P(0; 3).
- Calcule o coeficiente angular (mr) da reta "r", que é o que passa nos pontos (x₀; y₀) e (x₁; y₁):
m = (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀)
considerando os pontos P(0; 3) e Q(4; 0) :
mr = (0-3)/(4-0)
mr = (-3)/(4)
mr = -3/4 que é o coeficiente angular da reta "r".
- Agora considere que com o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀) descobriremos a sua equação:
y - y₀ = m*(x - x₀)
y - 3 = (-3/4)*(x - 0)
y - 3 = -3*(x - 0)/4
4*(y - 3) = -3*(x - 0)
4y - 12 = -3x + 0
4y - 12 = - 3x
4y - 12 + 3x = 0
3x + 4y - 12 = 0 Equação geral da reta "r".
ms*mr = -1
ms*(-3/4) = -1
-3ms/4 = -1
-3ms = 4*(-1)
-3ms = -4
3ms = 4
ms = 4/3, que é coeficiente angular da reta "s".
y - 0 = (4/3)*(x - 4)
y = 4*(x - 4)/3
3*y = 4x - 16
3y = 4x - 16
4x - 3y - 16 = 0, que é a equação geral da reta "s".
Para a reta "t":
y - 0 = (4/3)*(x - 1)
y = 4*(x - 1)/3
3*y = 4*(x-1)
3y = 4x - 4
4x - 3y - 4 = 0 , que é a equação geral da reta "t".
Pronto, agora você já sabe que que a equação da reta s e a equação da reta t é igual a: 4x - 3y - 16 = 0 e 4x - 3y - 4 = 0, respectivamente.
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Matéria: Matemática
Nível: Médio